2017广东工业大学程序设计竞赛决赛E题 倒水（water）

题目地址：http://gdutcode.sinaapp.com/problem.php?cid=1056&pid=4

Problem E: 倒水(Water)

Description

一天，CC买了N个容量可以认为是无限大的瓶子，开始时每个瓶子里有1升水。接着~~CC发现瓶子实在太多了，于是他决定保留不超过K个瓶子。每次他选择两个当前含水量相同的瓶子，把一个瓶子的水全部倒进另一个里，然后把空瓶丢弃。(不能丢弃有水的瓶子)

显然在某些情况下CC无法达到目标，比如N=3,K=1。此时CC会重新买一些新的瓶子(新瓶子容量无限，开始时有1升水)，以到达目标。

现在CC想知道，最少需要买多少新瓶子才能达到目标呢？

Input

第一行一个整数T，表示有T组数据。

接着T行，每行两个正整数， N,K(1<=N<=10^9，K<=1000)。

Output

一个非负整数，表示最少需要买多少新瓶子。

Sample Input

3

3 1

13 2

1000000 5

Sample Output

1

3

15808

1、首先这么想，一开始，如果我们有偶数个瓶子，那我们就可以直接两两倒在一起，瓶子数减少一半，并且，瓶子里的水量乘2，如果此时瓶子数依然是偶数，重复前面的操作。

2、然而事实不是那么顺利，假如现在我们有奇数个一升的瓶子，我们可以先单独拿出那一瓶，暂时成为光棍瓶，暂时保留不做处理，然后把剩下的偶数瓶按第一段的说法做。

3、也就是这样，如果当前有偶数个瓶子，我们直接两两倒在一起，瓶子数减半。如果当前有奇数个瓶子，我们先拿出来一个，暂时保留，再把剩下的偶数个两两倒在一起。

4、好了，如果我们一直重复上面的操作，最后一定会剩下一瓶，没办法再倒了，加上操作过程中拿出来的那些瓶子。现在的任务就是把这些瓶子的数量在想办法减少，借助新的一升的瓶子，问需要多少个新的一升的瓶子。

5、为了方便，我用了优先队列。在第4段的描述中，我们产生了许多个光棍瓶，如果光棍瓶的数量小于等于题目中的k，我们直接输出0就可以了。否则，我们就得想办法减少瓶子的数量。

6、假设，假设我们剩下了4个光棍瓶，分别有2、4、8、32升，（第一段可知，所有的光棍瓶水量必定是2的倍数，注意，1看做 2的0次方），这4个光棍瓶，我们先把他变成3瓶，怎么变呢，把最小的两瓶倒在一起，不是直接倒，是需要新的一升的瓶子创造一个4升的瓶子，和原有的4升倒在一起，达到目的。想得到一个4升，那就需要两个2升，想得到两个2升，就需要4个1升，以此类推，我们需要四个新的一升的瓶子。在类推过程中，我们发现，我们本来有一个2升的瓶子，所以我们只需要2个新瓶子，即4-2=2，我更愿意理解为2^2-2^1=2，（2的平方-2的1次方）。看图。有点像二叉树，本来4应该由四个1组成，而我们已经有了一个2升，就可以少创造一个2升的瓶子了。



代码如下：

#include<stdio.h>
#include<queue>
using namespace std;
priority_queue<int, vector<int>, greater<int> > q; //优先队列，先出小的元素
int pow2[33];//用来记录2的i次方是几，比如pow2[i]表示2的i次方
int sum;//需要买的瓶子数
int t,n,k;
void calcu()//计算瓶子数，每执行一次就把最小的两瓶倒在了一起
{
if(q.size()==k)//当队列里的瓶子数量等于k，达到题意
{
return;
}
//下面取出两个最小的瓶子
int u=q.top();
q.pop();
int v=q.top();
q.pop();
//把取出的两瓶，想办法倒在一起；

sum+=pow2[v]-pow2[u];//关键的计算

//这样就把2^u 的瓶子变成了2^v 那么大，然后倒在一起，放回队列里
q.push(v+1);
calcu();//继续计算
}

int main()
{
scanf("%d",&t);

pow2[0]=1; //2的0次方等于1；
for(int i=1;i<=30;i++)
pow2[i]=2*pow2[i-1];

while(t--)
{
while(!q.empty())
{
q.pop();
}
scanf("%d%d",&n,&k);
for(int i=0; n; i++)//当n等于0时，说明已经没有可以再倒在一起的了
{
if(n%2==1)//有奇数个相等水量的瓶子，余一个不能倒的，暂时放在队列里
{
q.push(i);//剩余一个2的i次方的水瓶
}
n/=2; //将偶数个瓶子两两倒在一起，瓶子减少一半
}

sum=0;
calcu();

printf("%d\n",sum);
}
return 0;
}