最大子序列问题

最大子序列问题就是求给出的序列中子序列最大值。

可以直接计算，不再具体描述，代码如下：

/*算法一，直接求出所有子序列，并比较，复杂度是O(n^3)*/
int maxsubseqsum1(int a[], int n)
{
int Thissum, maxsum = 0;
int i, j, k;
for (i = 0; i < n; i++)
{
for (j = i; j < n; j++)
{
Thissum = 0;
for (k = i; k <= j; k++)
Thissum += a[k];
if (Thissum > maxsum)
maxsum = Thissum;
}

}
return maxsum;
}

/*算法二   省去一个for循环  复杂度O(n^2)*/
int maxsubseqsum2(int a[], int n)
{
int Thissum, maxsum = 0;
int i, j;
for (i = 0; i < n; i++)
{
Thissum = 0;
for (j = 0; j < n; j++)
{
Thissum += a[j];
if (Thissum > maxsum)
maxsum = Thissum;
}
}
return maxsum;
}

下面看一下分治思想：O(nlogn)

最大子序列出现的可能只有三种：

只出现在前半部分；

只出现在后半部分；

横跨了整个序列。

如下图序列：



算法实现如下：

把序列分成左右两部分，再继续划分：



求出左边两小部分最大子列：左边第一部分最大为4，第二部分为5



再求左边两小部分的跨越边界最大子序列：4-3+5=6



右边同理：



最后：



最后一种算法：在线处理，复杂度最低,为O(n)。如下图所示，前两个数相加为正，更新；前三个数相加为0不更新；前四个数相加为4，更新；前五个数为负，直接舍弃前五个数，因为负数相加只会使结果减小；然后算1+6=7；1+6-1=6



代码：

/*算法四，在线处理*/
int maxsubseqsum3(int a[], int n)
{
int thissum, maxsum = 0;
int i;
thissum = maxsum = 0;
for (i = 0; i < n; i++)
{
thissum += a[i];//累加
if (thissum > maxsum)//如果累加结果大，更新最大值
maxsum = thissum;
else if (thissum<0)
thissum = 0;//如果结果小于0，则不可能使后面和增大，所以要舍弃
}
return maxsum;
}