[BZOJ2226][Spoj 5971] LCMSum（莫比乌斯反演）

题目描述

传送门

题解

画一波柿子

∑i=1n[i,j]

=∑i=1nni(i,j)

=n∑i=1n∑d=1n[(i,n)=d]id

令i=id

=n∑d|n∑i=1nd[(i,nd)=1]i

利用反演公式[n=1]=∑d|nμ(d)

=n∑d|n∑i=1ndi∑t|(i,nd)μ(t)

=n∑d|n∑t|nd∑i=1nd[t|i]iμ(t)

令s(n)=∑i=1ni=i(i+1)2

n∑d|n∑t|nds(ndt)tμ(t)

设f(n)=∑d|ns(nd)tμ(t)

=n∑d|nf(nd)

令F(n)=∑d|nf(nd)

那么答案就是nF(n)了嘛…

可以发现f和F都可以用埃式筛法筛出来

那么询问就是O(1)的啦…

时间复杂度O(nloglogn+T)

需要注意的是，这个公式：(i,j)=d−>(id,jd)=1条件是d|i且d|j

代码

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
#define N 1000005
#define LL long long

int T,n;
LL ans;
int p
,prime
,mu
;
LL f
,F
;

void get(int n)
{
mu[1]=1;
for (int i=2;i<=n;++i)
{
if (!p[i])
{
prime[++prime[0]]=i;
mu[i]=-1;
}
for (int j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<=n;++j)
{
p[i*prime[j]]=1;
if (i%prime[j]==0)
{
mu[i*prime[j]]=0;
break;
}
else mu[i*prime[j]]=-mu[i];
}
}
for (int i=1;i<=n;++i)
for (int j=i;j<=n;j+=i)
f[j]+=(LL)mu[i]*i*(j/i)*(j/i+1)/2;
for (int i=1;i<=n;++i)
for (int j=i;j<=n;j+=i)
F[j]+=f[j/i];
}
int main()
{
get(1000000);
scanf("%d",&T);
while (T--)
{
scanf("%d",&n);
ans=(LL)F
*n;
printf("%lld\n",ans);
}
}