递归算法深入浅出三:递归求Fibonacci斐波那契数列
2017-03-27 02:33
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递归算法概述及常见算法列表,传送门:
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这个数列从第三项开始,每一项都等于前两项之和。
【注:斐波那契数第一个数值为1,第二个数值也是1,从第三个开始,每个数值为前两个数的和】
当求【n=5】时,实际上是求当【n=3】和【n=4】时的和;
那么求【n=3】就是求【n=1】和【n=2】时的和…..
以此类推….
当【n=1】或【n=2】时,程序直接返回1。
可得出公式:
f(n) = f(n-1) + f(n-2)
不难得出基本的递归调用代码:
细心的人会发现这段代码是会得到递归死循环的,因为缺少了递归终止条件(跳出条件)
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因为【n=2】是由【n=1】和【n=0】的和得到,也是1。
可以得出最终的代码:
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在这里就可以引出“跳出递归调用边界”这种说法,也就是终止递归调用条件的值的设定!这个值的设定是需要根据现实计算情况和要求的计算逻辑实现的。
例如:
在斐波那契数列中,设计终止递归循环的边界是可以随意的,只要符合斐波那契数列的计算逻辑:
1. 终止条件中的n的最小值要大于等于0,小于0没有任何意义,并且不符合斐波那契规则,造成不可估量错误。
2. 要包含当n为基数以及偶数两种情况下n的返回值,主要是因为递归调用时有f(n-1)和f(n-2),那么就一定有奇偶数两种情况。
例子1:可以设计为在n=6时返回8,在n=7时返回13。
例子2:可以设计为在n=6时返回8,在n=5时返回5。
两个例子基本相同,就是在调用的时候有不同:
调用时传入参数n的最小值不能小于终止判断条件的最小判断值:
例子1.规定了n必须大于6
例子2.规定了n必须大于5
至于怎么选择,就在于使用者在实际中的需求来调整!
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斐波那契数列
斐波纳契数列,又称黄金分割数列,指的是这样一个数列:1、1、2、3、5、8、13、21、……这个数列从第三项开始,每一项都等于前两项之和。
递归求斐波那契(Fibonacci)数列
在这里我将根据递归两大特点(法则)和斐波那契数列的逻辑来设计对应的递归程序1.递归程序的定义
首先,设计一个fibo(int n)方法,返回值为:数列中第n个数的值【注:斐波那契数第一个数值为1,第二个数值也是1,从第三个开始,每个数值为前两个数的和】
当求【n=5】时,实际上是求当【n=3】和【n=4】时的和;
那么求【n=3】就是求【n=1】和【n=2】时的和…..
以此类推….
当【n=1】或【n=2】时,程序直接返回1。
可得出公式:
f(n) = f(n-1) + f(n-2)
不难得出基本的递归调用代码:
public static int fibo(int n) { return fibo(n - 1) + fibo(n - 2); }
细心的人会发现这段代码是会得到递归死循环的,因为缺少了递归终止条件(跳出条件)
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2.递归程序的终止条件
1. 当【n=1】或【n=2】时,程序直接返回1。
if( n== 1 || n ==2){ return 1; }
2. 当然,也可以设计程序当【n=0】时返回0以及【n=1】时返回1;
if (n == 0) { return 0; } else if (n == 1) { return 1; }
因为【n=2】是由【n=1】和【n=0】的和得到,也是1。
可以得出最终的代码:
public static int fibo(int n) {
if (n == 0) { return 0; } else if (n == 1) { return 1; } else{
return fibo(n - 1) + fibo(n - 2);
}
}
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3. 注意跳出的边界所在
上面代码片中,第一个代码片就限制了n必须大于0,也就是n不能等于0,否则会出现“递归死循环”引发“StackOverflow”异常。在这里就可以引出“跳出递归调用边界”这种说法,也就是终止递归调用条件的值的设定!这个值的设定是需要根据现实计算情况和要求的计算逻辑实现的。
例如:
在斐波那契数列中,设计终止递归循环的边界是可以随意的,只要符合斐波那契数列的计算逻辑:
1. 终止条件中的n的最小值要大于等于0,小于0没有任何意义,并且不符合斐波那契规则,造成不可估量错误。
2. 要包含当n为基数以及偶数两种情况下n的返回值,主要是因为递归调用时有f(n-1)和f(n-2),那么就一定有奇偶数两种情况。
例子1:可以设计为在n=6时返回8,在n=7时返回13。
public static int fibo(int n) { if (n == 6) { return 8; } else if (n == 7) { return 13; } else{ return fibo(n - 1) + fibo(n - 2); } }
例子2:可以设计为在n=6时返回8,在n=5时返回5。
public static int fibo(int n) { if (n == 6) { return 8; } else if (n == 5) { return 5; } else{ return fibo(n - 1) + fibo(n - 2); } }
两个例子基本相同,就是在调用的时候有不同:
调用时传入参数n的最小值不能小于终止判断条件的最小判断值:
例子1.规定了n必须大于6
例子2.规定了n必须大于5
至于怎么选择,就在于使用者在实际中的需求来调整!
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