POJ1113 计算几何雏形：凸包！

今天pty大神给我们讲了计算几何的基本，能几乎听懂的感觉还是不错的，但不能调出来一道模板题的话，总不能感觉掌握了。嗯，就找了这道堪称计算几何的模板来做了一下，发现，嗯，是我小看了。。。一上午和一下午啊。。的确是有写点东西的必要了。

老样子首先说明一下题意，那个，给你一座城堡，让你在城堡周围修一堵围墙，距离城堡的距离为k，嗯。乍一看有点古怪，其实好好看一下图就知道了，就是城堡的周长加上了一个圆的周长，因为围着城堡绕一圈正好赚了360度对吧，那不就正好一个圆吗，，那就只用考虑城堡的周长就行了嗯。

城堡是通过拐角的点给出的，换言之就是要通过给出的点求出城堡的周长，就是说包围着这些点的“凸包”，求凸包咯！

具体来说怎么做呐，就是GRAHAM求法，即排序+查找；

首先是排序，把所有的点排一遍序，点排序的依据是极角（马上解释），首先找到所有点中左下地方的那个点，就是纵坐标最低，如果纵坐标一样就比较横坐标，找较小的那一个，可以证明这样的一个点一定在凸包的“壳”上，那么就把这么个点记为0号点，从这个点开始找凸壳吧！，找点的代码：

point p0;
scanf("%d%d",&a[0].x,&a[0].y);
p0.x=a[0].x,p0.y=a[0].y;
for(int i=1;i<n;i++)
{
scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);
if((p0.y>a[i].y)||(p0.y==a[i].y)&&(p0.x>a[i].x))
{
p0.x=a[i].x,p0.y=a[i].y;
pos=i;
}
}
a[pos]=a[0];
a[0]=p0;

这里的p0只是个临时变量，作用是找到最“矮”的点并把它存到a0里，嗯，就是这样。

然后就是我们的排序了，用快排方便加快捷，但cmp函数要自己打：

bool cmp(const point &aa,const point &b)
{
int ans=cj(a[0],aa,b);
if(ans>0) return true;
else if(ans==0&&dis(a[0],aa)<dis(a[0],b)) return true;
else return false;
}

来解释一下，这里呢，是极角排序，什么是极角呐，就是以我们选定的a0为源点，建立平面直角坐标系，每一个点与源点的连线，与y轴的夹角大小排序，夹角越大，排序越小，这样就能保证依次遍历图时，能够从右边绕到左边来，嗯。但是呐，a0的值最好不要参与排序，因为其他都是按极角排序的，a0是按位置确定的，这样能避免a0的重复计算，嗯。

然后就是关键的一步了，找凸壳！要分一下类：

如果只有一个点的话，凸壳也无所谓了

有2个点的话，凸壳就只有一条边而已，入栈就行了。

有2个以上的边的话，先依次入栈，如果向左转（叉积>0）的话，直接入栈就行了，否则（叉积<0）向右转时就不是凸包了，就把栈弹出，弹到栈首点能够向左转到达时，就把枚举的点入栈！代码：

if(n>2)
{
stack[0]=a[0],stack[1]=a[1];
for(int i=2;i<n;i++)
{
while(top>0&&cj(stack[top-1],stack[top],a[i])<=0)   top--;
stack[++top]=a[i];
}
}

如此，待全部的点都遍历完了后，保存在栈里的点就是凸壳了，把他们的距离依次加起来即可，代码：

for(int i=0;i<=top;i++)
sum+=dis(stack[i],stack[(i+1)%(top+1)]);

呐，完整代码：

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
const double PI=acos(-1.0);
struct point
{
int x,y;
}a[100010],stack[100010];
double sum=0;
int n,k;
double dis(point a,point b)
{
return sqrt((double)(a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));
}
int cj(point p0,point p1,point p2)
{
return (p1.x-p0.x)*(p2.y-p0.y)-(p1.y-p0.y)*(p2.x-p0.x);
}
bool cmp(const point &aa,const point &b)
{
int ans=cj(a[0],aa,b);
if(ans>0) return true;
else if(ans==0&&dis(a[0],aa)<dis(a[0],b)) return true;
else return false;
}
int main()
{
int pos=0;
scanf("%d%d",&n,&k);
point p0;
scanf("%d%d",&a[0].x,&a[0].y);
p0.x=a[0].x,p0.y=a[0].y;
for(int i=1;i<n;i++)
{
scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);
if((p0.y>a[i].y)||(p0.y==a[i].y)&&(p0.x>a[i].x))
{
p0.x=a[i].x,p0.y=a[i].y;
pos=i;
}
}
a[pos]=a[0];
a[0]=p0;
int top=1;
sort(a+1,a+n,cmp);
if(n == 1)
{
top=0;stack[0]=a[0];
}
if(n == 2)
{
top=1;
stack[0]=a[0];
stack[1]=a[1];
}
if(n>2)
{
stack[0]=a[0],stack[1]=a[1];
for(int i=2;i<n;i++)
{
while(top>0&&cj(stack[top-1],stack[top],a[i])<=0)   top--;
stack[++top]=a[i];
}
}
for(int i=0;i<=top;i++)
sum+=dis(stack[i],stack[(i+1)%(top+1)]);
printf("%d",(int)(sum+2*PI*k+0.5));
}

如何，不长吧？关于叉积判断方向，就请自己了解下吧，我的算叉积的函数也是直接套用的叉积的公式，证明和推论请参考百度百科！嗯嗯。