USACO08MAR土地购买 与 APIO2010特别行动队
2017-03-25 19:03
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两道斜率优化DP;
--by luogu
排除不贡献答案的土地;
即把x,y都比某土地小的土地删除——无论怎么分,把她与这块大的分在一起就好了;
方法,把x递增排序,然后维护y的单调减队列;
这样以后,得方程:
f[i]=min{y[j+1]*x[i]+f[j]}
取b=f[j];k=y[j+1];
斜率优化即可;
代码如下:
![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?(i,%20i%20+%201,%20...,%20i%20+%20k))
的序列。 编号为 i 的士兵的初始战斗力为 xi ,一支特别行动队的初始战斗力 x 为队内 士兵初始战斗力之和,即
![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?x%20=%20x_i%20+%20x_{i+1}%20+%20...%20+%20x_{i+k})
。
通过长期的观察,你总结出一支特别行动队的初始战斗力 x 将按如下经验公 式修正为
![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?x%27%EF%BC%9Ax%27%20=%20ax2%20+%20bx%20+%20c)
,其中 a, b, c 是已知的系数(a < 0)。 作为部队统帅,现在你要为这支部队进行编队,使得所有特别行动队修正后 战斗力之和最大。试求出这个最大和。
例如,你有 4 名士兵,
![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?x_1%20=%202,%20x_2%20=%202,%20x_3%20=%203,%20x_4%20=%204)
。经验公式中的参数为 a = –1, b = 10, c = –20。此时,最佳方案是将士兵组成 3 个特别行动队:第一队包含士兵 1 和士兵 2,第二队包含士兵 3,第三队包含士兵 4。特别行动队的初始战斗力分 别为 4, 3, 4,修正后的战斗力分别为 4, 1, 4。修正后的战斗力和为 9,没有其它 方案能使修正后的战斗力和更大。
--by luogu
方程:
f[i]=max{ f[j]+a*(s[i]-s[j])²+b*(s[i]-s[j])+c }
f[i]=max{f[j]+a*s[i]²-2*a*s[i]*s[j]+a*s[j]²+b*s[i]-b*s[j]+c}
f[i]=max{f[j]-2*a*s[i]*s[j]+a*s[j]²-b*s[j]}+a*s[i]²+b*s[i]+c
max之外的不随j变化:
于是:
设f[i]=y+a*s[i]²+b*s[i]+c;
y=max{f[j]-2*a*s[i]*s[j]+a*s[j]²-b*s[j]};
y=max{-2*a*s[j]*s[i]+a*s[j]²-b*s[j]+f[j]};
取k=-2*a*s[j],b=a*s[j]²-b*s[j]+f[j];
斜率优化即可;
代码如下:
祝AC;
土地购买
约翰准备扩大他的农场,眼前他正在考虑购买N块长方形的土地。如果约翰单买一块土 地,价格就是土地的面积。但他可以选择并购一组土地,并购的价格为这些土地中最大的长 乘以最大的宽。比如约翰并购一块3 × 5和一块5 × 3的土地,他只需要支付5 × 5 = 25元, 比单买合算。 约翰希望买下所有的土地。他发现,将这些土地分成不同的小组来并购可以节省经费。 给定每份土地的尺寸,请你帮助他计算购买所有土地所需的最小费用。--by luogu
排除不贡献答案的土地;
即把x,y都比某土地小的土地删除——无论怎么分,把她与这块大的分在一起就好了;
方法,把x递增排序,然后维护y的单调减队列;
这样以后,得方程:
f[i]=min{y[j+1]*x[i]+f[j]}
取b=f[j];k=y[j+1];
斜率优化即可;
代码如下:
#include<cstdio> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; int n; struct ss{ int x,y; }; ss a[500010],b[500010]; ll f[500010]; int que[500010],h,t; bool cmp1(ss i,ss j){ return i.x<j.x; } ll Y(int ,int ); ll K(int ); ll B(int ); int cmp(int ,int ,int ); int main() { int i,k,cnt=0; long long x,j; h=0;t=0; scanf("%d",&n); for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y); sort(a+1,a+n+1,cmp1); for(i=1;i<=n;i++){ while(cnt&&a[i].y>=b[cnt].y)cnt--; b[++cnt]=a[i]; } for(i=1;i<=cnt;i++){ while(h<t&&Y(i,que[h])>=Y(i,que[h+1]))h++; f[i]=(ll)Y(i,que[h]); while(h<t&&cmp(i,que[t],que[t-1])) t--; que[++t]=i; } printf("%lld\n",f[cnt]); return 0; } ll Y(int i,int j){ return (ll)b[j+1].y*b[i].x+f[j]; } ll K(int j){ return b[j+1].y; } ll B(int j){ return f[j]; } int cmp(int x1,int p,int x3){ long long k1=K(x1),k2=K(p),k3=K(x3),b1=B(x1),b2=B(p),b3=B(x3); ll w1=(k1-k3)*(b2-b1); ll w2=(k1-k2)*(b3-b1); return w1<=w2; }
特别行动队
你有一支由 n 名预备役士兵组成的部队,士兵从 1 到 n 编号,要将他们拆分 成若干特别行动队调入战场。出于默契的考虑,同一支特别行动队中队员的编号 应该连续,即为形如的序列。 编号为 i 的士兵的初始战斗力为 xi ,一支特别行动队的初始战斗力 x 为队内 士兵初始战斗力之和,即
。
通过长期的观察,你总结出一支特别行动队的初始战斗力 x 将按如下经验公 式修正为
,其中 a, b, c 是已知的系数(a < 0)。 作为部队统帅,现在你要为这支部队进行编队,使得所有特别行动队修正后 战斗力之和最大。试求出这个最大和。
例如,你有 4 名士兵,
。经验公式中的参数为 a = –1, b = 10, c = –20。此时,最佳方案是将士兵组成 3 个特别行动队:第一队包含士兵 1 和士兵 2,第二队包含士兵 3,第三队包含士兵 4。特别行动队的初始战斗力分 别为 4, 3, 4,修正后的战斗力分别为 4, 1, 4。修正后的战斗力和为 9,没有其它 方案能使修正后的战斗力和更大。
--by luogu
方程:
f[i]=max{ f[j]+a*(s[i]-s[j])²+b*(s[i]-s[j])+c }
f[i]=max{f[j]+a*s[i]²-2*a*s[i]*s[j]+a*s[j]²+b*s[i]-b*s[j]+c}
f[i]=max{f[j]-2*a*s[i]*s[j]+a*s[j]²-b*s[j]}+a*s[i]²+b*s[i]+c
max之外的不随j变化:
于是:
设f[i]=y+a*s[i]²+b*s[i]+c;
y=max{f[j]-2*a*s[i]*s[j]+a*s[j]²-b*s[j]};
y=max{-2*a*s[j]*s[i]+a*s[j]²-b*s[j]+f[j]};
取k=-2*a*s[j],b=a*s[j]²-b*s[j]+f[j];
斜率优化即可;
代码如下:
#include<cstdio> #define ll long long using namespace std; ll a,b,c; int n; ll s[1000010]; ll f[1000010]; int que[1000010],h,t; inline ll Y(int ,int ); inline ll K(int ); inline ll B(int ); inline int cmp(int ,int ,int ); int main() { int i,k; long long x,j; h=0;t=0; scanf("%d",&n); scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c); for(i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&j),s[i]=s[i-1]+j; for(i=1;i<=n;i++){ while(h<t&&Y(i,que[h])<=Y(i,que[h+1]))h++; f[i]=(ll)Y(i,que[h])+a*s[i]*s[i]+b*s[i]+c; while(h<t&&cmp(i,que[t],que[t-1])) t--; que[++t]=i; } printf("%lld\n",f ); return 0; } inline ll Y(int i,int j){ return (ll)K(j)*s[i]+B(j); } inline ll K(int j){ return (ll)-2*a*s[j]; } inline ll B(int j){ return (ll)f[j]+a*s[j]*s[j]-b*s[j]; } inline int cmp(int x1,int p,int x3){ return ((ll)(K(x1)-K(p))*(B(x3)-B(x1)))>=((ll)(B(p)-B(x1))*(K(x1)-K(x3))); }
祝AC;
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