AHP层次分析法
2017-03-24 11:21
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原文地址：AHP层次分析法作者：中大数模1概述
层次分析法，是应用网络系统理论和多目标综合评价方法的一种层次权重决策分析方法。层次分析法本质是一种决策方法，所谓决策是指在面临多种方案时需要依据一定的标准选择某一种方案，详见《运筹学》。
层次分析法可应用于决策、评价、分析、预测。
2层次分析法的步骤和方法
运用层次分析法构造系统模型时，大体可以分为以下五个步骤：
2.1
建立层次结构模型
2.2
构造判断矩阵
2.3
一致性检验
2.4
计算各层权重
2.5 总体一致性检验
下面我们依次分析：
2.1建立层次结构模型
层次分析法强调决策问题的层次性，我们必须认清决策目标与决策因素之间的关系。
简单地说，就是处理各个因素之间的包含关系，再把它们放在一个层次结构图中。一般地，我们把层次结构图分成3个层次：
目标层：决策的目的、要解决的问题
准则层：考虑的因素、决策的准则。
方案层：决策时的备选方案。
作为本文的例子，我们以选择旅游地作为问题，演示层次分析法的过程。
选择旅游地是决策目标那么应放在目标层。
同时我们在选择旅游地时会考虑到不同的因素，如景色、费用等，这些作为准则层。
最后，我们把各个景点纳入考虑的范围，就有方案层。
值得注意的是分层取决于问题本身，所以决策目标不同时，层次结构图就可能大不相同。这时候，就可能出现多个层次。
可参考http://blog.sina.com.cn/s/blog_656fe31a0100h9vv.html
2.2构造判断矩阵
建立层次结构图，之后我们就必须讨论同一层因素的权重。
仍用上述例子，这时我们要得出c1,c2,c3……对O的影响权重，可把权重记为：
。
我们可以直接查找资料，或咨询有关专家的方式得到w。可是，当影响因素很多时，权重就非常难估计，而且常常不容易被别人接受。
Santy等人提出一致矩阵法，即：
2.2.1
不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较。
2.2.2
对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，以提高准确度。
这意思很简单，如果说a比b重要2倍，b比c重要3倍，这时我们就可以说a,b,c三者的权重为6：3：1，归一化之后就有0.6：0.3：0.1。
也就是先两两地进行比较权重，最后我们再得到总的权重。具体情况是这样的，我们用
1，2，3，4……9表示两个因素的权重的相对权重比。如下表：
这时我们就可以得到判断矩阵，也就是每两个因素的权重比：
（1）
假设我们得到的例子中判断矩阵是：
（2）
如A(2,1)就表示，第一个因素与第二个因素的权重比。
有了判断矩阵，我们就可以得到各个因素的权重。在（1）式中，右乘w就有
（3）
也就是说我们只要令(A-n)w=0和|w|=1，就可以算去w。
如a,b,c的判断矩阵为
令(A-3)w=0,就有w=[0.6 0.3 0.1]
2.3
一致性检验
仔细查看（2），其实是有问题的。判断矩阵可能会出现不一致的情况，这时（3）不成立。
如果说a比b重要2倍，b比c重要3倍，然后说c比a重要2倍，这就有问题了。这就是所谓的不一致现象。（2）就是出现了这一现象。那么，这时权重又如何确定。
学过线性代数的话，我们知道（3）中,n是A的特殊值，而w是A的特殊向量。在出现不一致的情况下，Saaty等人建议用对应于最大特征根l的特征向量作为权向量w ，即
由于λ
连续的依赖于aij
，则λ
比n
大的越多，A
的不一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用
λ-n 数值的大小来衡量
A
的不一致程度。
定义一致性指标:
CI=0，有完全的一致性
CI接近于0，有满意的一致性
CI
越大，不一致越严重
定义随机一致性指标 RI：它的值与n的关系如下：
定义一致性比率 ：
一般，当一致性比率 时，认为A的不一致程度在容许范围之内，有满意的一致性，通过一致性检验。可用其归一化特征向量作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵A，对 aij
加以调整。
一致性检验也就是利用一致性指标和一致性比率<0.1，及随机一致性指标的数值表，对 A 进行检验的过程。
我们分析一下（2）：这里用一下matlab来求特征值，
A=...
[ 1, 1/2,
4,
3,
3
2,
1,
7,
5,
5
1/4, 1/7, 1,
1/2, 1/3
1/3, 1/5,
2,
1,
1
1/3, 1/5,
3,
1,
1];
[u,v]=eig(A);
u1=-u(:,1)/norm(u(:,1))
v1=v(1)
CI=(v1-5)/(5-1);
RI=1.12;
CR=CI/RI
求得A的特殊向量是
CR<0.1，所以A在容许范围之内。这时权重是w=u1。
2.4
计算各层权重
我们最终目的是要确定P1,P2,P3对0的影响权重。
我们先从C1开始，计算出P1,P2,P3的权重，记为
;
同理算出C2权向量wc2,C3的权向量wc3……。
再回到O，计算出
。
这时P1对0的影响权重就是k1=wp1*wo1+wp2*wo2+……wp5*wo5。
用矩阵的语言来说，说是P1,P2,P3对0的影响权重为：
K=WC*WO
其中，WC=[wc1 wc2 wc3 wc4
wc5]。
2.5
总体一致性检验
定义总体一致性比率：
其中CIi是下层的一致性指标，RIi是下层的随机一致性指标，ai是权重。
同样的，如果CR<0.1 ，那么一致性在容许范围之内。
3层次分析法的优点
系统性——将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合的思维方式进行决策。成为成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具；
实用性——定性与定量相结合，能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广，同时，这种方法使得决策者与决策分析者能够相互沟通，决策者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性；
简洁性——计算简便，结果明确，具有中等文化程度的人即可以了解层次分析法的基本原理并掌握该法的基本步骤，容易被决策者了解和掌握。便于决策者直接了解和掌握。
4层次分析法的局限
囿旧——只能从原有的方案中优选一个出来，没有办法得出更好的新方案；
粗略——该法中的比较、判断以及结果的计算过程都是粗糙的，不适用于精度较高的问题；
主观——从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人主观因素对整个过程的影响很大，这就使得结果难以让所有的决策者接受。当然采取专家群体判断的办法是克服这个缺点的一种途径。
层次分析法，是应用网络系统理论和多目标综合评价方法的一种层次权重决策分析方法。层次分析法本质是一种决策方法，所谓决策是指在面临多种方案时需要依据一定的标准选择某一种方案，详见《运筹学》。
层次分析法可应用于决策、评价、分析、预测。
2层次分析法的步骤和方法
运用层次分析法构造系统模型时，大体可以分为以下五个步骤：
2.1
建立层次结构模型
2.2
构造判断矩阵
2.3
一致性检验
2.4
计算各层权重
2.5 总体一致性检验
下面我们依次分析：
2.1建立层次结构模型
层次分析法强调决策问题的层次性，我们必须认清决策目标与决策因素之间的关系。
简单地说，就是处理各个因素之间的包含关系，再把它们放在一个层次结构图中。一般地，我们把层次结构图分成3个层次：
目标层：决策的目的、要解决的问题
准则层：考虑的因素、决策的准则。
方案层：决策时的备选方案。
作为本文的例子，我们以选择旅游地作为问题，演示层次分析法的过程。
选择旅游地是决策目标那么应放在目标层。
同时我们在选择旅游地时会考虑到不同的因素，如景色、费用等，这些作为准则层。
最后，我们把各个景点纳入考虑的范围，就有方案层。
值得注意的是分层取决于问题本身，所以决策目标不同时，层次结构图就可能大不相同。这时候，就可能出现多个层次。
可参考http://blog.sina.com.cn/s/blog_656fe31a0100h9vv.html
2.2构造判断矩阵
建立层次结构图，之后我们就必须讨论同一层因素的权重。
仍用上述例子，这时我们要得出c1,c2,c3……对O的影响权重，可把权重记为：
。
我们可以直接查找资料，或咨询有关专家的方式得到w。可是，当影响因素很多时，权重就非常难估计，而且常常不容易被别人接受。
Santy等人提出一致矩阵法，即：
2.2.1
不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较。
2.2.2
对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，以提高准确度。
这意思很简单，如果说a比b重要2倍，b比c重要3倍，这时我们就可以说a,b,c三者的权重为6：3：1，归一化之后就有0.6：0.3：0.1。
也就是先两两地进行比较权重，最后我们再得到总的权重。具体情况是这样的，我们用
1，2，3，4……9表示两个因素的权重的相对权重比。如下表：
这时我们就可以得到判断矩阵，也就是每两个因素的权重比：
（1）
假设我们得到的例子中判断矩阵是：
（2）
如A(2,1)就表示，第一个因素与第二个因素的权重比。
有了判断矩阵，我们就可以得到各个因素的权重。在（1）式中，右乘w就有
（3）
也就是说我们只要令(A-n)w=0和|w|=1，就可以算去w。
如a,b,c的判断矩阵为
令(A-3)w=0,就有w=[0.6 0.3 0.1]
2.3
一致性检验
仔细查看（2），其实是有问题的。判断矩阵可能会出现不一致的情况，这时（3）不成立。
如果说a比b重要2倍，b比c重要3倍，然后说c比a重要2倍，这就有问题了。这就是所谓的不一致现象。（2）就是出现了这一现象。那么，这时权重又如何确定。
学过线性代数的话，我们知道（3）中,n是A的特殊值，而w是A的特殊向量。在出现不一致的情况下，Saaty等人建议用对应于最大特征根l的特征向量作为权向量w ，即
由于λ
连续的依赖于aij
，则λ
比n
大的越多，A
的不一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用
λ-n 数值的大小来衡量
A
的不一致程度。
定义一致性指标:
CI=0，有完全的一致性
CI接近于0，有满意的一致性
CI
越大，不一致越严重
定义随机一致性指标 RI：它的值与n的关系如下：
定义一致性比率 ：
一般，当一致性比率 时，认为A的不一致程度在容许范围之内，有满意的一致性，通过一致性检验。可用其归一化特征向量作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵A，对 aij
加以调整。
一致性检验也就是利用一致性指标和一致性比率<0.1，及随机一致性指标的数值表，对 A 进行检验的过程。
我们分析一下（2）：这里用一下matlab来求特征值，
A=...
[ 1, 1/2,
4,
3,
3
2,
1,
7,
5,
5
1/4, 1/7, 1,
1/2, 1/3
1/3, 1/5,
2,
1,
1
1/3, 1/5,
3,
1,
1];
[u,v]=eig(A);
u1=-u(:,1)/norm(u(:,1))
v1=v(1)
CI=(v1-5)/(5-1);
RI=1.12;
CR=CI/RI
求得A的特殊向量是
CR<0.1，所以A在容许范围之内。这时权重是w=u1。
2.4
计算各层权重
我们最终目的是要确定P1,P2,P3对0的影响权重。
我们先从C1开始，计算出P1,P2,P3的权重，记为
;
同理算出C2权向量wc2,C3的权向量wc3……。
再回到O，计算出
。
这时P1对0的影响权重就是k1=wp1*wo1+wp2*wo2+……wp5*wo5。
用矩阵的语言来说，说是P1,P2,P3对0的影响权重为：
K=WC*WO
其中，WC=[wc1 wc2 wc3 wc4
wc5]。
2.5
总体一致性检验
定义总体一致性比率：
其中CIi是下层的一致性指标，RIi是下层的随机一致性指标，ai是权重。
同样的，如果CR<0.1 ，那么一致性在容许范围之内。
3层次分析法的优点
系统性——将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合的思维方式进行决策。成为成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具；
实用性——定性与定量相结合，能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广，同时，这种方法使得决策者与决策分析者能够相互沟通，决策者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性；
简洁性——计算简便，结果明确，具有中等文化程度的人即可以了解层次分析法的基本原理并掌握该法的基本步骤，容易被决策者了解和掌握。便于决策者直接了解和掌握。
4层次分析法的局限
囿旧——只能从原有的方案中优选一个出来，没有办法得出更好的新方案；
粗略——该法中的比较、判断以及结果的计算过程都是粗糙的，不适用于精度较高的问题；
主观——从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人主观因素对整个过程的影响很大，这就使得结果难以让所有的决策者接受。当然采取专家群体判断的办法是克服这个缺点的一种途径。
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