历届试题 矩阵翻硬币(数学题，大数开根)

问题描述

　　小明先把硬币摆成了一个 n 行 m 列的矩阵。

　　随后，小明对每一个硬币分别进行一次 Q 操作。

　　对第x行第y列的硬币进行 Q 操作的定义：将所有第 i*x 行，第 j*y 列的硬币进行翻转。

　　其中i和j为任意使操作可行的正整数，行号和列号都是从1开始。

　　当小明对所有硬币都进行了一次 Q 操作后，他发现了一个奇迹——所有硬币均为正面朝上。

　　小明想知道最开始有多少枚硬币是反面朝上的。于是，他向他的好朋友小M寻求帮助。

　　聪明的小M告诉小明，只需要对所有硬币再进行一次Q操作，即可恢复到最开始的状态。然而小明很懒，不愿意照做。于是小明希望你给出他更好的方法。帮他计算出答案。

输入格式

　　输入数据包含一行，两个正整数 n m，含义见题目描述。

输出格式

　　输出一个正整数，表示最开始有多少枚硬币是反面朝上的。

样例输入

2 3

样例输出

1

数据规模和约定

　　对于10%的数据，n、m <= 10^3；

　　对于20%的数据，n、m <= 10^7；

　　对于40%的数据，n、m <= 10^15；

　　对于10%的数据，n、m <= 10^1000（10的1000次方）。

　　

题解：

这是一个数学题，数据太大，明显不能瞎搞。肯定要推公式啊，或者找规律。

因为如果一个硬币在第二行，那么它可能被第一行和第二行…..等的硬币翻转。

我们扩展一下，如果一个硬币在第x行，那么它可能被第一行的硬币翻转的，其中y是x的约数。

我们把矩阵变成01矩阵。

0是正面，1是反面。

0&1=0.

1&1=1.

那么正反面问题就变成了一个奇偶性问题。

用f(x) 表示约数个数。

那么对答案的贡献为：

ans=∑nx=1∑my=1(f(x)∗f(y))&1

这个式子对101000显然也是不行的….

那么就再化简啊！

根据约数个数定理，对于一个数n，可分解成若干质数幂次的乘积.

n=prime[1]a∗prime[2]b∗.....

f(n)=(a+1)∗(b+1)∗......

其中，f(n)为n的约数个数。

因为奇偶性问题，所以每一项(a+1)，(b+1)，(c+1)…..都是奇数。

所以a，b，c….这些都是偶数。

那么n也是偶数啊。

那么对答案的贡献就变成：

ans=n√∗m−−√

上式对于101000来说，套个大数开根模板就好了。

代码：

//大数乘法
//大数比较
//大数开根
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int Max=1100;
string s1,s2;     //n,m;
int len1,len2;    //记录开根号后大数的位数；

int sqrtA[1100],sqrtB[1100];
int a[1100];
int temp[1100],ans[1100];

int Compare(int a[],int b[],int len1,int len2) //大数比较大小
{
if(len1>len2) return 1;
else if(len1<len2) return -1;
for(int i=len1-1;i>=0;i--){
if(a[i]>b[i]) return 1;
else if(a[i]<b[i]) return -1;
}
return 0;
}

//计算sqrtA[]*sqrtB[],len1,len2分别为sqrtA,sqrtB的长度
//返回结果位数；
int Mul(int ans[],int A[],int B[],int len1,int len2)
{
for(int i=0;i<=1000;i++) ans[i]=0;  //对于传址ans，用memset没法初始化；
for(int i=0;i<len1;i++)
for(int j=0;j<len2;j++)
ans[i+j]+=A[i]*B[j];
for(int i=0;i<len1+len2;i++){
ans[i+1]+=ans[i]/10;
ans[i]%=10;
}
int i;
for(i=len1+len2;i>=0;i--)
if(ans[i]) break;
return i+1;
}

//将s开根号,保存在a中,并且返回开根号后a的位数；
int sqrtNum(int *A,string s)
{
memset(A,0,sizeof(A));
int len=s.size();
int Len=len/2;
if(len%2) Len+=1;
memset(a,0,sizeof(a));
for(int i=0,j=s.size()-1;i<s.size();i++,j--) //顺序翻转；
a[j]=s[i]-'0';

for(int i=Len-1;i>=0;i--){                //从最高位开始试；
int flag;
memset(temp,0,sizeof(temp));
int lenMul=1;
while((flag=Compare(temp,a,lenMul,len))==-1){
A[i]++;
lenMul=Mul(temp,A,A,Len,Len);
}
if(flag==0) break;
else if(flag==1) A[i]--;
}
return Len;
}
int main()
{
memset(sqrtA,0,sizeof(sqrtA));
memset(sqrtB,0,sizeof(sqrtB));

cin>>s1>>s2;

len1=sqrtNum(sqrtA,s1);
len2=sqrtNum(sqrtB,s2);

int len=Mul(ans,sqrtA,sqrtB,len1,len2);

for(int i=len-1;i>=0;i--) cout<<ans[i];
cout<<endl;
return 0;
}