一些插值法及理解

插值法就是一个从已知点近似计算未知点的近似计算方法，即构造一个多项式函数，使其通过所有已知点，然后用求得的函数预测位置点。下面记录几种最近学到的插值法以及它们的试用条件及优缺点，简单说一下自己对于插值多项式构造的理解。

1.Lagrange插值法

即构造一个多项式，Li（x），让n=i的时候Li（x）=1，当n≠i时候Li（x）=0，这样就保证了Ln（x）通过每一个（xi，yi）点，符合插值原理。



 这个就是插值多项式系数，它保证了Li(xi)=1，而带入其他点都为0，yi*Li（xi）就得到插值多项式的每一项，这个多项式通过每一个已知点。

但是这样的插值法存在一定问题：

1.运算量很大

2.稳定性不好，即Ln（x）的却能通过所有已知点，但是，不能保证Ln（x）在已知点附近的值是否有意义，可能它的波动会大到超出实际意义。

2.Newton插值法



定义了差商之后，发现差商有以下性质，有点像矩阵：



接着就要找预测公式了，发现，一介及是线性的，然后再往高阶迭代：



这样就发现f（x）由一部分已知多项式和未知多项式组成，把未知多项式就可以定为误差函数Rn（x）。



3.Neville插值法

如果知道两个点的话，插值自然是寻找两点连接的直线上一点，可验证，以下公式是（x0，y0），（x1，y1）上一点：



接着自然要考虑如果有三个点怎么弄：

我们想到在（x1，y1）和（x2，y2）之间插一个，然后在两个插值点之间再插一次：

（x1，y1）和（x2，y2）之间插值公式为：



接着，默认两个点分别很接近（x0，y0），（x1，y1），再在两个新得到的两个点之间插值：



通过化简得到以下公式：



通过上述过程我们发现了递归：



综上，我们就通过了两个已知点得到了n个插值点。

4.分段线性插值法

简单点说就是把相邻两个训练点之间用一条直线连接，然后形成一个折线图，用这个折线图来预测。实际上就是上一个插值法的一介形式。



5.条样插值法

条样插值是将分段线性插值修改了一下，不是将相邻点之间用直线连接了，升级了，用可以求n阶导的函数链接