gcd欧几里德算法/extgcd扩展欧几里德算法以及在解不定方程中的应用

这个应该是我在noip前就应该会的东西 ，但是当时也许只是记下了代码吧 ，现在有诸多的不理解。后来借着书和几篇博客弄懂了并小证了一下，鉴于网上有些博客关于这个的写的真的不好看，所以自己来总结一下，顺带以后也能看。

顺带一提，gcd(a,b)表示a,b的最大公约数。

欧几里德算法

辗转相除法求最大公约数问题，同可求最小公倍数。

既然是辗转相除法，自然就是%%%，%到互相整除为止。代码也很详尽简洁。

int regulargcd(int x,int y)
{
return y==0?x:(regulargcd(y,x%y));
}

最小公倍数为两数之积除以他们的最大公约数，相信大家都能明白。

扩展欧几里德算法

我之前一直困惑的是它为什么可以求不定方程的解，后来基本明白了：

给定一个形如方程ax+by=d，求它的整数解。

我们知道a,b为整数，d是整数，使得x,y为整数解，那么需要约掉系数中相同的部分，于是方程ax+by=d有整数解⇒gcd(a,b)|d

所以说，假设我们有d=gcd(a,b)∗t，则方程ax+by=d的解为agcd(a,b)x+bgcd(a.b)y=gcd(a,b)的t倍,那么原问题转化为求方程agcd(a,b)x+bgcd(a.b)y=gcd(a,b)的解了。

再推到一般，若a,b互质，有ax+by=1有解。

然后接下来我们考虑特殊解的情况：

gcd(a,b)递归的最终结果为gcd(k,0),假定方程有解，那么最终有a∗1+b∗0=gcd(a,b)，即a∗1+b∗0=1，即x=1， y=0出现，这是在求gcd时递归形成的。若我们也这样地求解方程呢？

于是我们来找ax+by=gcd(a,b)与bx′+(a%b)∗y′=gcd(b,a%b)的关系,由于a%b=a−(a/b)∗b（整数除法） 所以代入有ay′+b(x′−a/b∗y′)=gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

于是原方程解为x=y′,y=x′−(a/b)∗y′。

这样我们就能递归地计算方程的解了。

int extgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==0)
{
x=1;
y=0;
return a;
}
else
{
int ans;
ans=extgcd(b,a%b,x,y);
int tmp=x;
x=y;
y=tmp-(a/b)*y;
return ans;
}
}

不定方程不是有很多解吗？是的，这只是最小解。设最小解为x0,y0，它的所有解为x=x0+bgcd(a,b)和y=y0+agcd(a,b)。（自己带到方程里展开就有恒等式，这里不证了）当gcd(a,b)=1时，有x=x0+b,y=y0+a。

while(x<=0)
{
x+=(b/res);
}
printf("%d\n",x);

例题：zoj3609求逆元

方法同上，AC代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
//zoj3609 AC
using namespace std;

int extgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==0)
{
x=1;
y=0;
return a;
}
else
{
int ans;
ans=extgcd(b,a%b,x,y);
int tmp=x;
x=y;
y=tmp-(a/b)*y;
return ans;
}
}

int regulargcd(int x,int y)
{
return y==0?x:(regulargcd(y,x%y));
}

int main()
{
int a,b;
int cas;
scanf("%d",&cas);
for(int z=0;z<cas;z++)
{
scanf("%d%d",&a,&b);
int x,y;
if(regulargcd(a,b)==1)
{
int res=extgcd(a,b,x,y);
if(x>0)
{
printf("%d\n",x);
}
else
{
while(x<=0)
{
x+=(b/res);
}
printf("%d\n",x);
}
}
else
{
printf("Not Exist\n");
}
}
return 0;
}

关于逆元，请移步逆元-wiki

谢谢看到这里