codeforces 785d[补]

题目：http://codeforces.com/problemset/problem/785/D

题目意思：

有一个只有’(‘和’)’的串，可以随意的删除随意多个位置的符号，现在问能构成((((((…((()))))….))))))这种对称的情况有多少种，保证中间对称，左边为’(‘右边为’)’

一道比赛的时候看了一眼，读错题感觉只能做出O(n^2)的前后缀数组的方法，想了几分钟没想出思路去继续搞c。。结果c依然爆炸，后来回去之后又看了看题，太晚了没敢继续敲。。

当时想着思路大概是前后缀数组，然后组合数学。

起床之后推出了这个


然后有点懵。。这个时间复杂度是O(n^2)的啊，然后。。就没有然后了，默默的看了下题解。。他们公式都是长这样的


当然，如果 n>m ，对应位置组合数为0，结论不变。 所以C上面那个数为last[i] - 1

为什么呢。。因为我自己组合数学没学好。要通过范德蒙恒等式来进行转换。。弱弱的给个链接http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/31032763

然后，对于阶层，很容易乘爆，而且组合数学是需要除的，所以需要用到乘法逆元，再给个链接。http://blog.csdn.net/daniel_csdn/article/details/50783734

这一道题数学知识涨得很多，很欣慰。

/*
@resouces: codeforces 785D
@date: 2017-3-18
@author: QuanQqqqq
@algorithm: 组合数学 快速幂 前后缀和 费马小
*/
#include <bits/stdc++.h>

#define ll long long
#define MAXN 200105
using namespace std;

const ll mod = 1e9 + 7;

ll fac[MAXN],nfac[MAXN]; //阶层，阶层的逆元

ll qsm(ll m,ll n){
ll ans = 1;
while(n){
if(n & 1){
ans = (ans * m) % mod;
}
m = m * m % mod;
n >>= 1;
}
return ans;
}

void init(){
fac[0] = fac[1] = 1;
for(ll i = 2;i < MAXN;i++){
fac[i] = (i * 1LL * fac[i - 1]) % mod;
}
nfac[MAXN - 1] = qsm(fac[MAXN - 1],mod - 2) % mod;
for(ll i = MAXN - 2;i >= 0;i--){
nfac[i] = (nfac[i + 1] * (i + 1)) % mod;
}
}

ll C(ll n,ll m){
if(m == 0)
return 1;
return fac
* nfac[n - m] % mod * nfac[m] % mod;
}

ll pre[MAXN],last[MAXN];
char ch[MAXN];

int main(){
init();
scanf("%s",ch + 1);
int len = strlen(ch + 1);
ll p = 0;
for(int i = 1;i <= len;i++){
if(ch[i] == '('){
p++;
}
pre[i + 1] = p;
}
p = 0;
for(int i = len;i >= 1;i--){
if(ch[i] == ')'){
p++;
}
last[i] = p;
}
ll ans = 0;
for(int i = 1;i <= len;i++){
if(pre[i] && last[i] && ch[i - 1] == '('){
(ans += C(pre[i] + last[i] - 1,last[i] - 1) % mod) %= mod;
}
}
printf("%lld\n",ans % mod);
}

记一发阶层逆元的代码

void init(){
fac[0] = fac[1] = 1;
for(ll i = 2;i < MAXN;i++){
fac[i] = (i * 1LL * fac[i - 1]) % mod;
}
nfac[MAXN - 1] = qsm(fac[MAXN - 1],mod - 2) % mod;
for(ll i = MAXN - 2;i >= 0;i--){
nfac[i] = (nfac[i + 1] * (i + 1)) % mod;
}
}