《数论概论》读书笔记(第一章) 什么是数论?
2017-03-18 16:44
846 查看
数论是纯粹数学的分支之一,主要研究整数的性质。
整数可以是方程式的解(丢番图方程)。有些解析函数(像黎曼ζ函数)中包括了一些整数、质数的性质,透过这些函数也可以了解一些数论的问题。透过数论也可以建立实数和有理数之间的关系,并且用有理数来逼近实数(丢番图逼近)。
按研究方法来看,数论大致可分为初等数论和高等数论。初等数论是用初等方法研究的数论,它的研究方法本质上说,就是利用整数环的整除性质,主要包括整除理论、同余理论、连分数理论。高等数论则包括了更为深刻的数学研究工具。它大致包括代数数论、解析数论、计算数论等等。
初等数论
初等数论主要就是研究整数环的整除理论及同余理论。此外它也包括了连分数理论和少许不定方程的问题。本质上说,初等数论的研究手段局限在整除性质上。
初等数论中经典的结论包括算术基本定理、欧几里得的质数无限证明、中国剩余定理、欧拉定理(其特例是费马小定理)、高斯的二次互反律, 勾股方程的商高定理、佩尔方程的连分数求解法等等。
猜想:
●哥德巴赫猜想:是否每个大于2的偶数都可写成两个质数之和?
●孪生素数猜想:孪生素数就是差为2的素数对,例如11和13。是否存在无穷多的孪生素数?
●斐波那契数列内是否存在无穷多的素数?
●是否存在无穷多的梅森素数?(指形如2^p-1的正整数,其中指数p是素数,常记为M_p 。若M_p是素数,则称为梅森素数)
●1995年怀尔斯和理查·泰勒证明了历时350年的费马猜想(费马大定理)。
●黎曼猜想
习题:
1.1,三角平方数:0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025,......
三角平方数通项:
肯定有无穷多个啊。具体看Wiki:点击打开链接
1.2 1+3+5+....+(2n+1)=n^2.
用几何图形来证明?
这样?
1.3.
关于形如(p,p+2,p+4)素数三元组的问题。
显然只存在一个(3,5,7)。
证明如下:
假设 p mod 3=1。
则(p+2) mod 3=0 不满足素数条件。
假设p mod 3=2。
则(p+4) mod 3=0不满足素数条件。
除非本身p+2或p+4或p就是3。
那么就是(3,5,7)这个情况。
所以显然只有一种情况。(3,5,7)。
1.4
显然,对于N^2-A。当A为平方数时,N^2-A=(N-a)*(N-a),其中a*a=A.
所以当A是平方数时,N^2-A肯定不是素数。
1.5
1+2+3+4+5+....+n=(1+n)+(2+(n-1))+(3+(n-2))+.....=(1+n)+(1+n)+(1+n)+....+(1+n)=n/2*(1+n).
如果是偶数,可以完全匹配完,那么项数就是n/2。
如果是奇数,会留一个,这个数是(n+1)/2。剩下的n+1有(n-1)/2个,那么再加上这半个,那么就是n/2个。
所以不管是奇数还是偶数,结果都是n/2个。
整数可以是方程式的解(丢番图方程)。有些解析函数(像黎曼ζ函数)中包括了一些整数、质数的性质,透过这些函数也可以了解一些数论的问题。透过数论也可以建立实数和有理数之间的关系,并且用有理数来逼近实数(丢番图逼近)。
按研究方法来看,数论大致可分为初等数论和高等数论。初等数论是用初等方法研究的数论,它的研究方法本质上说,就是利用整数环的整除性质,主要包括整除理论、同余理论、连分数理论。高等数论则包括了更为深刻的数学研究工具。它大致包括代数数论、解析数论、计算数论等等。
初等数论
初等数论主要就是研究整数环的整除理论及同余理论。此外它也包括了连分数理论和少许不定方程的问题。本质上说,初等数论的研究手段局限在整除性质上。
初等数论中经典的结论包括算术基本定理、欧几里得的质数无限证明、中国剩余定理、欧拉定理(其特例是费马小定理)、高斯的二次互反律, 勾股方程的商高定理、佩尔方程的连分数求解法等等。
还有,解析数论,代数数论,几何数论,计算数论,超越数论,组合数论,算术代数几何。不作一一解释了。
猜想:●哥德巴赫猜想:是否每个大于2的偶数都可写成两个质数之和?
●孪生素数猜想:孪生素数就是差为2的素数对,例如11和13。是否存在无穷多的孪生素数?
●斐波那契数列内是否存在无穷多的素数?
●是否存在无穷多的梅森素数?(指形如2^p-1的正整数,其中指数p是素数,常记为M_p 。若M_p是素数,则称为梅森素数)
●1995年怀尔斯和理查·泰勒证明了历时350年的费马猜想(费马大定理)。
●黎曼猜想
习题:
1.1,三角平方数:0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025,......
三角平方数通项:
肯定有无穷多个啊。具体看Wiki:点击打开链接
1.2 1+3+5+....+(2n+1)=n^2.
用几何图形来证明?
这样?
1.3.
关于形如(p,p+2,p+4)素数三元组的问题。
显然只存在一个(3,5,7)。
证明如下:
假设 p mod 3=1。
则(p+2) mod 3=0 不满足素数条件。
假设p mod 3=2。
则(p+4) mod 3=0不满足素数条件。
除非本身p+2或p+4或p就是3。
那么就是(3,5,7)这个情况。
所以显然只有一种情况。(3,5,7)。
1.4
显然,对于N^2-A。当A为平方数时,N^2-A=(N-a)*(N-a),其中a*a=A.
所以当A是平方数时,N^2-A肯定不是素数。
1.5
1+2+3+4+5+....+n=(1+n)+(2+(n-1))+(3+(n-2))+.....=(1+n)+(1+n)+(1+n)+....+(1+n)=n/2*(1+n).
如果是偶数,可以完全匹配完,那么项数就是n/2。
如果是奇数,会留一个,这个数是(n+1)/2。剩下的n+1有(n-1)/2个,那么再加上这半个,那么就是n/2个。
所以不管是奇数还是偶数,结果都是n/2个。
相关文章推荐
- <<什么是数学>> 读书笔记 第一章
- 《鸟哥的Linux学习:基础篇》第一章 Linux是什么 读书笔记
- 《战略管理》第一章<什么是战略管理>读书笔记
- 《管理的常识》第一章<什么是管理>读书笔记一
- 《程序是怎么跑起来的》第一章--对程序员来说CPU是什么--读书笔记
- 《程序是怎样跑起来的》读书笔记 之 第一章 对于程序员来说CPU是什么
- 【读书笔记】《waht is mathematic》第一章补充——数论
- 《大数据时代》读书笔记——知道“是什么”就够了,没必要知道“为什么”。我们不必非得知道现象背后的原因,而是要让数据自己“发声”
- 第一章 vagrant简介--vagrant是什么?(2)
- 第一章 什么是git,为什么需要它?
- 什么是读书笔记(Book Mark , Book Note)?
- The C Programming Language 第一章导言 读书笔记
- 《跟旺旺老师学Java》_第一章Java简介与JDK部署_第一部分Java是什么
- 《编程珠玑》读书笔记第一章
- 【Android开发艺术探索读书笔记】 第一章 Activity的生命周期与启动模式
- Neural Network Methods for Natural Language Processing 系列读书笔记 -- 第一章 介绍
- 《C++ Primer》读书笔记-第一章 入门
- 【Spring】【笔记】《Spring In Action》第一章 读书笔记
- TCPL(The C Programming Language)读书笔记 第一章导言
- [转]第一章 Windows Shell是什么 【来源:http://blog.csdn.net/wangqiulin123456/article/details/7987862】