最大流的增广路算法（EK）

首先介绍算法中的一些基本概念：

容量：c(u,v)。表示边 <u,v>最大可以承载的流量。

流量：f(u,v)。表示边 <u,v>中已经有多少流量。

残量：r(u,v)。表示边 <u,v>还可以走多少的流量会达到饱和。r = c – f。

为了理解最大流算法，可以形象的将网络中的各个边联想成水管。那么c和f表示水管内的最大水流量以及水流量。r表示这个水管还能够增加多少单位的水流量。而对于一条路径，其能够增加的最大水流量受限于该路径经过的所有水管中最小的r。

有了这个具象之后，不难理解网络流的三大性质：

1. “水流量”f(u,v)<=”最大水流量”c(u,v)

2. 对于任意一个”水管”，f(u,v) = -f(u,v)。（反对称性）

3. 对于任意一个非源点和宿点的网络结点；流入的水流量一定等于流出的水流量。

要想求出从源点到宿点最大可以流过多少的流量，EK算法的思路很简单，从零流量开始不断地在网络中增加流量，直到没有任意一条从源到宿的路径可以再增加流量为止。而再这个过程中，增加的所有流量和就是可以网络可以承受的最大流。

鉴于以上的分析，总结出EK算法的过程如下：

1. 在网络中求出一条从源到宿的路径。计算该路径能通过的最大流量，记做r’。（求源到宿的路径可以使用BFS）

2. 在网络中将步骤1计算出来的路径流量增加r’，那么每个边的残量r就减少了r’。得到了一个残量网络。（这一步骤称为增广）

3. 在残量网络中重复步骤1，2。直到步骤1不能求出新的路径时，所有r‘的和即为最大流。

假设我们有初始网络如下图：



首先在步骤1中我们得到的路径1->2->3->4。该路径上可以流过的流量为2。得到残量网络如下，图中边上的二元组表示(f,c)：



图中有一些奇怪的橙色边，在原始网络中是没有的。这些边称为反向弧。以1->2的反向弧为例，其r = c – f = 0 – (-2) = 2。

那么为什么要设立这些反向弧呢？这个残量网络中，如果只有正向的弧，我们不难发现，已经无法增广了。但是从原始网络中，从肉眼都可以看出最大流为3。如果不继续增广，结果显然不对。

但是在增加了反向弧之后，尚有一条增广路1->3->2->4，流量为1。

首先，在引入反向弧之后，它还是满足网络流的三大性质的，因此，是一个合法的网络流。其次，两个流1->2->3->4和1->3->2->4，相加之后可以理解为整个网络在2->3边上走了一个单位流量。

EK算法在得到一条增广路之后，求残量网络都是以路径能够承受的最大流量去算的。而这个最大的流量配出去之后不一定就是对的。那么反向弧的设立为之前配错的流量提供了一个可以反悔的机会。

EK算法编码如下：

#-*- coding: utf-8 -*-

topo = { 1 : {2 : 2, 3 : 1},
2 : {1 : 0, 3 : 2, 4 : 2},
3 : {1 : 0, 2 : 0, 4 : 2},
4 : {2 : 0, 3 : 0} }

INF = 0xFFFFFFFF

def ek_bfs(s, t):
flag = [0 for i in range(len(topo) + 1)]
return ek_bfs_core(flag, s, t, INF)

def ek_bfs_core(flag, s, t, r):
flag[s] = 1

if s == t: return r

for node, cap in topo[s].items():
if flag[node] == 0 and cap > 0:
new_r = ek_bfs_core(flag, node, t, min(r, cap))
if new_r != 0:
topo[s][node] -= new_r
topo[node][s] += new_r
return new_r

return 0

def ek(s, t):
total_f = 0
while True:
f = ek_bfs(s, t)
if f == 0: break
total_f = total_f + f

return total_f

if __name__ == '__main__':
print ek(1, 4)

执行可得，结果为3。