[dfs] BZOJ1053: [HAOI2007]反素数ant

题意

对于任何正整数x，其约数的个数记作g(x)。例如g(1)=1，g(6)=4。

如果某个正整数x满足：g(x)>g(i) (0 < i < x)则称x为反质数。

现在给定一个数N，求不超过N的最大的反质数。

(N<=2000000000)

题解

先要观察出一些结论。

实际上我们并不用真正验证某数是否是反素数，考虑题目要求的是1~n中最大的反素数，显然答案的约数个数一定是1~n中最大的，若有多个数的约数个数相同，则答案是值最小的那个。

所以我们求的就是上述规则下最优的数。

怎么样才算”优”呢？

1.约数个数要多。

2.满足约数多的情况下数的大小越小越好。

求约数个数一般是质因数分解成pk11∗pk22∗...pkmm(p1<p2<p3...<pm)

那么约数个数即为(k1+1)∗(k2+1)∗...(km+1)

观察后发现，可能的反素数的ki一定是单调不降的。

假设对于某个数分解后有pi<pj且ki<kj，如果把两个的指数互换，约数个数不变但数字大小减少，显然后者更优。

有了上面的结论，就可以dfs了。

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL n,ans1,ans2;
LL p[15]={11,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31};
void dfs(int step,LL res1,LL res2,LL last){
if(step>p[0]){
if(res2>ans2||(res2==ans2&&res1<ans1)){ans1=res1;ans2=res2;}
return;
}
for(LL i=0,now=1;i<=last&&res1*now<=n;i++,now*=p[step]) dfs(step+1,res1*now,res2*(i+1),i);
}
int main(){
freopen("bzoj1053.in","r",stdin);
freopen("bzoj1053.out","w",stdout);
scanf("%lld",&n);
dfs(1,1,1,20);
printf("%lld\n",ans1);
return 0;
}