漫步数学分析三十六——泰勒定理
2017-03-17 19:17
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我们讨论一般函数f:A⊂Rn→Rm的泰勒公式，为此我们首先讨论高阶导数。对于f:Rn→R，定义高阶偏导没有问题；我们仅仅迭代偏导的过程
∂2f∂x1∂x2=∂∂x1(∂∂x2f)
然而，将导数看做线性映射时需要非常小心。
如果二阶导存在的话，可以通过对Df求导获得，过程如下。
定义4 令L(Rn,Rm)表示从Rn到Rm的线性映射空间，(如果我们在Rn，Rm中选择一个基，那么L(Rn,Rm)等同于m×n矩阵)接下里Df:A→L(Rn,Rm)；即对每个x∈A我们得到一个线性映射Df(x0)。如果我们在x0处对Df求导，我们就得到从Rn到L(Rn,Rm)的线性映射，写作D(Df(x0))=D2f(x0)。我们将Bx0:Rn×Rn→Rm定义成Bx0(x1,x2)=[D2f(x0)(x1)](x2)
因为D2f(x0):Rn→L(Rn,Rm)，上面的定义讲得通，所以D2f(x0)(x1)∈L(Rn,Rm)；因此它能够用到x2上。我们这么做的原因是Bx0避免不必要的使用较难的空间L(Rn,Rm)≈Rnm。
根据定义，双线性(bilinear)映射B:E×F→G，其中E,F,G 是向量空间，就是每个变量都是线性的映射；例如对第一个变量，也就是说B(αe1+βe2,f)=αB(e1,f)+βB(e2,f)，其中e1,e2∈E,f∈F,α,β∈R，上面定义的映射Bx0很容易看成Rn×Rn→Rm的一个双线性映射。
接下来，对于双线性映射B:E×F→R，我们可以将每个E的基e1,…,en和F的f1,…,fm与一个矩阵关联起来，即令
aij=B(ei,fj)
那么如果
x=∑i=1nxieiy=∑j=1myjfj
我们有
B(x,y)=∑ijaijxiyj=(x1,x2,…,xn)⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜a11⋅⋅⋅an1⋯a1m⋅⋅⋅anm⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜y1⋅⋅⋅ym⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟
注意：对于二阶导数，双线性映射Bx0在x0处对Df的求导依然写成D2(f)。
定理8 令f:A⊂Rn→R在开集A上二阶可导，那么D2f(x):Rn×Rn→R对于标准基的矩阵为
⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜∂2f∂x1∂x1⋅⋅⋅∂2f∂xn∂x1⋯⋯∂2f∂x1∂xn⋅⋅⋅∂2f∂xn∂xn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
其中每个偏微分都是在点x=(x1,…,xn)处进行计算。
对于高阶微分，使用相似的处理过程。例如D3f对每个x 给出一个三线性映射D3(f):Rn×Rn×Rn→Rm，我们没有将这个映射与矩阵联系起来，而是用三个标记的量来表示；对于每个元素fk来说就是∂3fk(∂xl∂xj∂xi) (这样的量叫张量(tensor))。
在处理泰勒定义之前，我们首先给出二阶导数一个非常重要的性质：定理8中的矩阵是对称的，即
∂2f∂xi∂xj=∂2f∂xj∂xi
定理9 令f:A→R在开集A上二阶可导且D2f连续(即函数∂2f/(∂xi∂j)是连续的)，那么D2f是对称的；即
D2f(x)(x1,x2)=D2f(x)(x2,x1)
或者用元素的方式表示就是
∂2f∂xi∂xj=∂2f∂xj∂xi
从上面的定理可以看出，在相似的条件下，高阶微分也是对称的，对于f:A→Rm来说，我们可以将上面的定理应用到f的元素上得出微分。
二阶微分的对称性是基本性质，但在单标量微积分中不存在这种情况，现在我们通过实例来验证这些原则。
假设f(x,y,z)=exysinx+x2y4cos2z，所以f:R3→R，那么
∂f∂x∂f∂y=exycosx+yexysinx+2xy4cos2z=xexysinx+4x2y3cos2z
并且
∂f∂y∂x=xexycosx+exysinx+xyexysinx+8xy3cos2z
这与∂2f/∂x∂y是一样的。
定理9直观上不太明显，然而可以从证明中得出一些直观信息。
定义5 如果一个函数的前r阶导数存在且连续，那么我们称该函数是Cr类(class)。(等价的，这意味着到r阶之间的所有导数均存在且连续)如果函数对于所有正整数r都是Cr类，那么我们称该函数是光滑的(smooth)或是C∞类。
利用定理5(坐标形式是最简单的)中的公式，我们可以说明Cr的复合函数还是Cr。
泰勒定理如下所述：
定理10 对开集A⊂Rn，令f:A→R是Cr类，令x,y∈A并且假设连接x,y的线段位于A中，那么在这条线段上存在点c使得
f(y)−f(x)=∑k=1r−11k!Dkf(x)(y−x,…,y−x)+1r!Dr(c)(y−x,…,y−x)
其中Dkf(x)(y−x,…,y−x)表示k线性映射Dkf(x)作用到k 元(y−x,…,y−x)上，在坐标中
Dkf(x)(y−x,…,y−x)=∑i1,…,ik=1n(∂kf∂xi1⋯∂xik)(yi1−xxi)⋯(yik−xik)
令y=x+h，我们可以将泰勒公式重新写成
f(x+h)=f(x)+Df(x)⋅h+⋯+1(r−1)!Dr−1f(x)⋅(h,…,h)+Rr−1(x,h)
其中Rr−1(x,h)是余项(remainder)，进一步
当h→0时Rr−1(x,h)∥h∥r−1→0
余项还有其他的表示形式，我们会在证明中给出来，这个定理是均值定理(r=1的情况)的推广，也是单元微积分中泰勒定理的推广。
根据泰勒定理，我们可以写出x0的泰勒级数(Taylor series)
∑k=0∞1k!Dkf(x0)(x−x0,…,x−x0)
即便f是C∞，它也没必要收敛，如果它在x0的邻域内收敛，那么我们说f在x0处是可解析的。为了说明f是可解析的，我们需要展示在r→∞时，余项(1/r!)Drf(c)(x−x0,…,x−x0)→0，那么它就能用来建立常见的幂级数表达式，像sinx,cosx等等。
例1：对函数f(x,y)=yx2(cosy2)，验证定理9。
解：
∂f∂x=2xycosy2,∂2f∂y∂x=2xcosy2−4xy2siny2
∂f∂y=x2cosy2−2y2x2siny2,∂2f∂x∂y=2xcosy2−4y2xsiny2
例2：如果f是R上的C∞且对于每个区间[a,b]，存在常数M使得对每个n,x∈[a,b]，不等式|fn(x)|≤M成立，说明f在每个x0处可解析并且
f(x)=∑n=0∞f(n)(x0)n!(x−x0)n
解：余项是
∣∣∣∑n=0∞f(n)(x0)n!(x−x0)n∣∣∣≤Mn|x−x0|nn!
当n→∞时余项→0，因为利用比率测试，对应的级数收敛。通过观察可知这个收敛在所有有界区间上是一致收敛的。
例3：给出一个是C∞函数但是不可解析。
解：令
f(x)={0,e−1/x,x≤0x>0
f平滑性唯一有问题的地方就是x=0处，但是对于x>0
f′(x)=1x2e−1/x
当x→0+时导数→0(利用洛必达法则)，同样的我们可以看出x→0+时f(n)(x)→0，从而利用均值定理我们可以看出f在0处是C∞且f(n)(0)=0，因此x=0处的泰勒级数等于零，所以f不等于x=0处泰勒级数，故f不是可解析的。
例4：计算f(x,y)=sin(x+2y)在(0,0)周围的二阶泰勒公式。
解：这里f(0,0)=0，
∂f∂x(0,0)∂f∂y(0,0)∂2f∂x2(0,0)∂2f∂y2(0,0)∂2f∂x∂y(0,0)=cos(0+2⋅0)=1,=2cos(0+2⋅0)=2,=0,=0,=0
从而
f(h,k)=h+2k+R2(h,k),(0,0)
其中
当(h,k)→(0,0)时,R2(h,k),(0,0)/|(h,k)|2→0
∂2f∂x1∂x2=∂∂x1(∂∂x2f)
然而，将导数看做线性映射时需要非常小心。
如果二阶导存在的话，可以通过对Df求导获得，过程如下。
定义4 令L(Rn,Rm)表示从Rn到Rm的线性映射空间，(如果我们在Rn，Rm中选择一个基，那么L(Rn,Rm)等同于m×n矩阵)接下里Df:A→L(Rn,Rm)；即对每个x∈A我们得到一个线性映射Df(x0)。如果我们在x0处对Df求导，我们就得到从Rn到L(Rn,Rm)的线性映射，写作D(Df(x0))=D2f(x0)。我们将Bx0:Rn×Rn→Rm定义成Bx0(x1,x2)=[D2f(x0)(x1)](x2)
因为D2f(x0):Rn→L(Rn,Rm)，上面的定义讲得通，所以D2f(x0)(x1)∈L(Rn,Rm)；因此它能够用到x2上。我们这么做的原因是Bx0避免不必要的使用较难的空间L(Rn,Rm)≈Rnm。
根据定义，双线性(bilinear)映射B:E×F→G，其中E,F,G 是向量空间，就是每个变量都是线性的映射；例如对第一个变量，也就是说B(αe1+βe2,f)=αB(e1,f)+βB(e2,f)，其中e1,e2∈E,f∈F,α,β∈R，上面定义的映射Bx0很容易看成Rn×Rn→Rm的一个双线性映射。
接下来，对于双线性映射B:E×F→R，我们可以将每个E的基e1,…,en和F的f1,…,fm与一个矩阵关联起来，即令
aij=B(ei,fj)
那么如果
x=∑i=1nxieiy=∑j=1myjfj
我们有
B(x,y)=∑ijaijxiyj=(x1,x2,…,xn)⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜a11⋅⋅⋅an1⋯a1m⋅⋅⋅anm⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜y1⋅⋅⋅ym⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟
注意：对于二阶导数，双线性映射Bx0在x0处对Df的求导依然写成D2(f)。
定理8 令f:A⊂Rn→R在开集A上二阶可导，那么D2f(x):Rn×Rn→R对于标准基的矩阵为
⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜∂2f∂x1∂x1⋅⋅⋅∂2f∂xn∂x1⋯⋯∂2f∂x1∂xn⋅⋅⋅∂2f∂xn∂xn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
其中每个偏微分都是在点x=(x1,…,xn)处进行计算。
对于高阶微分，使用相似的处理过程。例如D3f对每个x 给出一个三线性映射D3(f):Rn×Rn×Rn→Rm，我们没有将这个映射与矩阵联系起来，而是用三个标记的量来表示；对于每个元素fk来说就是∂3fk(∂xl∂xj∂xi) (这样的量叫张量(tensor))。
在处理泰勒定义之前，我们首先给出二阶导数一个非常重要的性质：定理8中的矩阵是对称的，即
∂2f∂xi∂xj=∂2f∂xj∂xi
定理9 令f:A→R在开集A上二阶可导且D2f连续(即函数∂2f/(∂xi∂j)是连续的)，那么D2f是对称的；即
D2f(x)(x1,x2)=D2f(x)(x2,x1)
或者用元素的方式表示就是
∂2f∂xi∂xj=∂2f∂xj∂xi
从上面的定理可以看出，在相似的条件下，高阶微分也是对称的，对于f:A→Rm来说，我们可以将上面的定理应用到f的元素上得出微分。
二阶微分的对称性是基本性质，但在单标量微积分中不存在这种情况，现在我们通过实例来验证这些原则。
假设f(x,y,z)=exysinx+x2y4cos2z，所以f:R3→R，那么
∂f∂x∂f∂y=exycosx+yexysinx+2xy4cos2z=xexysinx+4x2y3cos2z
并且
∂f∂y∂x=xexycosx+exysinx+xyexysinx+8xy3cos2z
这与∂2f/∂x∂y是一样的。
定理9直观上不太明显，然而可以从证明中得出一些直观信息。
定义5 如果一个函数的前r阶导数存在且连续，那么我们称该函数是Cr类(class)。(等价的，这意味着到r阶之间的所有导数均存在且连续)如果函数对于所有正整数r都是Cr类，那么我们称该函数是光滑的(smooth)或是C∞类。
利用定理5(坐标形式是最简单的)中的公式，我们可以说明Cr的复合函数还是Cr。
泰勒定理如下所述：
定理10 对开集A⊂Rn，令f:A→R是Cr类，令x,y∈A并且假设连接x,y的线段位于A中，那么在这条线段上存在点c使得
f(y)−f(x)=∑k=1r−11k!Dkf(x)(y−x,…,y−x)+1r!Dr(c)(y−x,…,y−x)
其中Dkf(x)(y−x,…,y−x)表示k线性映射Dkf(x)作用到k 元(y−x,…,y−x)上，在坐标中
Dkf(x)(y−x,…,y−x)=∑i1,…,ik=1n(∂kf∂xi1⋯∂xik)(yi1−xxi)⋯(yik−xik)
令y=x+h，我们可以将泰勒公式重新写成
f(x+h)=f(x)+Df(x)⋅h+⋯+1(r−1)!Dr−1f(x)⋅(h,…,h)+Rr−1(x,h)
其中Rr−1(x,h)是余项(remainder)，进一步
当h→0时Rr−1(x,h)∥h∥r−1→0
余项还有其他的表示形式，我们会在证明中给出来，这个定理是均值定理(r=1的情况)的推广，也是单元微积分中泰勒定理的推广。
根据泰勒定理，我们可以写出x0的泰勒级数(Taylor series)
∑k=0∞1k!Dkf(x0)(x−x0,…,x−x0)
即便f是C∞，它也没必要收敛，如果它在x0的邻域内收敛，那么我们说f在x0处是可解析的。为了说明f是可解析的，我们需要展示在r→∞时，余项(1/r!)Drf(c)(x−x0,…,x−x0)→0，那么它就能用来建立常见的幂级数表达式，像sinx,cosx等等。
例1：对函数f(x,y)=yx2(cosy2)，验证定理9。
解：
∂f∂x=2xycosy2,∂2f∂y∂x=2xcosy2−4xy2siny2
∂f∂y=x2cosy2−2y2x2siny2,∂2f∂x∂y=2xcosy2−4y2xsiny2
例2：如果f是R上的C∞且对于每个区间[a,b]，存在常数M使得对每个n,x∈[a,b]，不等式|fn(x)|≤M成立，说明f在每个x0处可解析并且
f(x)=∑n=0∞f(n)(x0)n!(x−x0)n
解：余项是
∣∣∣∑n=0∞f(n)(x0)n!(x−x0)n∣∣∣≤Mn|x−x0|nn!
当n→∞时余项→0，因为利用比率测试，对应的级数收敛。通过观察可知这个收敛在所有有界区间上是一致收敛的。
例3：给出一个是C∞函数但是不可解析。
解：令
f(x)={0,e−1/x,x≤0x>0
f平滑性唯一有问题的地方就是x=0处，但是对于x>0
f′(x)=1x2e−1/x
当x→0+时导数→0(利用洛必达法则)，同样的我们可以看出x→0+时f(n)(x)→0，从而利用均值定理我们可以看出f在0处是C∞且f(n)(0)=0，因此x=0处的泰勒级数等于零，所以f不等于x=0处泰勒级数，故f不是可解析的。
例4：计算f(x,y)=sin(x+2y)在(0,0)周围的二阶泰勒公式。
解：这里f(0,0)=0，
∂f∂x(0,0)∂f∂y(0,0)∂2f∂x2(0,0)∂2f∂y2(0,0)∂2f∂x∂y(0,0)=cos(0+2⋅0)=1,=2cos(0+2⋅0)=2,=0,=0,=0
从而
f(h,k)=h+2k+R2(h,k),(0,0)
其中
当(h,k)→(0,0)时,R2(h,k),(0,0)/|(h,k)|2→0
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