分层图

分层图 及堆优化dijkstra

遇到了据说个不太常用的思想叫分层图

顺便补补课，写个堆优化的dijkstra

分层图主要是应用于 变化的最短路问题 问题常表现为一个最短路问题上加一些手脚，如减小一些边权，改变一些连接，但事先又不知道，或可以自由选择改变哪个边，最终求最短路等等。由于无法知道改变了那些边，所以用到分层图思想。

可以理解为 平行宇宙 一样的东西 就是把原图复制出来k个，然后在原图连接的基础上，在相邻层中间加一些要求的变化边，通常是单向的（保证从每一层到下一层不再回来），再跑最短路。

发个题吧

Illegal Motor (Motor.c/cpp/pas)

Description

在你的强力援助下，PCY 成功完成了之前的所有任务，他觉得，现在正是出去浪的大好时光。

于是，他来到高速公路上，找到一辆摩的前往几千公里以外他心仪的那家黄焖鸡米饭。

由于 PCY 的品味异于常人，途经几百个城市的黄焖鸡米饭他都不屑一顾，他只愿意前往他心中最

好的那家，但是为了一碗二十块钱的黄焖鸡米饭，他不愿意花上几千块的路费，他希望路费尽量

少。高速路上的警察叔叔被他的行为所打动，于是在多方协调下，最多 K 条城市之间的高速收费站

愿意免费为 PCY 放行（可以任意选择）。

显然，PCY 已经筋疲力尽，不想再动用自己的数学天才来计算他可以花费的最小路费，因此他希

望你可以帮他最后一次，他说他可以请你吃大碗的黄焖鸡米饭，还可以加一瓶豆奶。

现在给你 N 个城市（编号为 0 … N - 1），M 条道路，和每条高速公路的花费 Wi，以及题目所描

述的 K。 PCY 想从城市 S 到城市 T，因为他对 T 城市的黄焖鸡米饭情有独钟。

Input (Prefix.in)

第一行，三个整数 N，M，K，如题意所描述

第二行，两个整数 S，T，代表出发城市和目标城市编号

接下来 M 行，每行三个整数 X，Y，W，代表 X 和 Y 城市之间的高速公路收费为 W 元

Output (Prefix.out)

共一行，输出一个整数，代表 PCY 最少需要花费的路费。NOIP 模拟题

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Sample Input

Sample Output

Explanation

自己动手，丰衣足食

Hint

对于 10%的数据，N <= 100，K = 0

对于 30%的数据，N <= 5，M <= 10，K <= 2

对于 100%的数据，N <= 10000，M <= 50000，K <= 10，Wi <= 10000

内存限制 256M，时间限制 1s

我们建个原图，再复制k层出来然后这样：

原图x到y有一条边权为13的边，然后再每两个相邻的层之间 从x到y’连个边权为0的边，y到x’亦如此，这样以后跑图时可以从x到y跑这个变，即不花钱，又因为它是单向的，所以跑不回去了，保证了不会死循环或出意外。最终比较每层图的dis【t】值，取最小的，即是通过了有些免费路的最小值。

因为任意选择免费路，所以不知道那条免费最好，所以分层来跑，即最后的最短路就是包含了一些边权为零的路，但不一定跑了那种组合，所以每层t点都应比较一下。

发个图（纯自己手画，有点丑）



像这样从x到y就可以走一条边权为0的边，然后再下一层中继续跑最短路，也有可能没走这个而走了另一条路，则两层的t就不一定哪个更近，所以比下。

分层图说完了，再来浅谈一下堆优化dijkstra。

优化的地方主要是在取出剩余点中dis最小的点时用了堆，直接取，而非循环一边。堆里存两个东西：一维是dis，并按这个维护的小根堆，然后二维是点的序号，取出来更新时也要用到。

好了，代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<vector>
#define inf 0x7f7f7f7f
#define N 200050
#define M 4000010
using namespace std;

int n,m,k,s,t;
int  dis
,ans,maxn,sum,nown;

struct E{
int to,next,wi;
}a[M];int last
,cnt;

void bud(int u,int v,int w)
{
a[++cnt].to=v;a[cnt].wi=w;
a[cnt].next=last[u];last[u]=cnt;
}

typedef pair<int,int>hp;//自定义类型，一维是dis值，二维是序号

void dijkstra()//堆优化dijkstra
{
priority_queue<hp,vector<hp>,greater<hp> >heap;
memset(dis,inf,sizeof(dis));
dis[s]=0;
heap.push(hp(0,s));
while(!heap.empty()){
hp now=heap.top();heap.pop();
int x=now.second;
if(dis[x]<now.first)continue;
for(int i=last[x];i;i=a[i].next){
if(dis[a[i].to]>dis[x]+a[i].wi){
dis[a[i].to]=dis[x]+a[i].wi;
heap.push(hp(dis[a[i].to],a[i].to));
}
}
}
}

int main()
{
freopen("Motor.in","r",stdin);
freopen("Motor.out","w",stdout);
scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
scanf("%d%d",&s,&t);
for(int i=1;i<=m;++i){
int u,v,w;
scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
for(int j=0;j<=k;++j){//分层建图
bud(u+n*j,v+n*j,w);
bud(v+n*j,u+n*j,w);
if(j<k){
bud(u+n*j,v+n*(j+1),0);
bud(v+n*j,u+n*(j+1),0);
}
}
}
ans=inf;
dijkstra();
for(int i=0;i<=k;++i)ans=min(ans,dis[t+i*n]);//比较最优
printf("%d",ans);
return 0;
}