cubic convolution interpolation （三次卷积插值）

算法来源：Cubic
convolution interpolation for digital image processing

文章只对一维情形进行分析，二维类似。

许多插值函数能够写成形式（其中

是插值点，u是基函数(文章中叫插值核)，h是采样间隔，

是参数）

通过插值，用

来近似

。



cubic convolution interpolation 中插值核u定义为子区间(-2,-1),(-1,0),(0,1),(1,2)上的分块三次多项式，并且在(-2,2)外为0。插值核必须是对称的（我也不知为啥），这就意味着，u有如下形式：



插值核必须有

(这是基函数定义吧，为了方便计算,如果不这么定义的话，cj计算就比较麻烦)。因此有



因此，u必须满足：u(0)=1,u(1) = u(2)=0，且连续，即满足以下方程：



更进一步假设u'连续，得：



这里有七个方程，但是有八个未知量，所以至少有一个自由变量。[1]中采用

。在这篇paper里面，将选择一个

，使得有更高阶的近似（假设设原函数

至少存在三阶连续导数）。

先假设

,则，解出u为：



假设x是任意一个点，它的值将由插值得到。设

,令



由于

,插值函数能够被写成：



进一步，由于u在(-2,2)外为0，且0<s<1，(5)可写为：



将(4)知：



代入(6)，得到：



假设

在

存在三阶连续导数。由泰勒公式得到（注意是大O）：



类似的：



将这三个式子代入（7），得到：



由于

,
将

进行Taylor展开,得到：



(12) - (11)得到：





为了使得

能够以更高阶地近似

，则有

,这就得出

.这时有：

最终得到：



下面分析边界条件。可以看到前面的结果用了

,但是，现实情况中采样是有限的，在边界的时候，这些值是不知道的，这就使我们必须处理好边界。



假设所有采样点位于[a,b]中且

.我们要做的，就是估计

和

。按照前面的公式(6),

的插值为：



将(15)代入，得到：



（对比

的泰勒展开）要使得g是f的三阶近似，即

,就必须有

的系数为0.

由此得到：

。接下来要验证确实有

。

将



代入(18),有



将f,在各位置进行Taylor展开，得到：



代入(20)得到：



由：



两式相减，得到确实有



同样的，可以得到：



我们计算出

和

后，就可用插值函数对各点求插值了。



二维情形的插值函数为：



边界条件：



[1]  Rifman S S. Digital rectification of ERTS multispectral imagery[J]. 1973.