矩阵论笔记(七)——矩阵的微分和积分
2017-03-16 11:16
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对矩阵求微分和积分,就是对其每个元素求微分和积分。
积分:如果 A(t) 的每个元素都是 [t0,t1] 上的可积函数,则定义 A(t) 在 [t0,t1] 上的积分为 ∫t1t0A(t)dt=(∫t1t0aij(t)(d)t)m×n;
连续性:
当 aij(t) 在 [t0,t1] 上连续时,称 A(t) 在 [t0,t1] 上连续,且有 ddt∫taA(s)ds=A(t);
当 a′ij(t) 都在 [t0,t1] 上连续时,∫baA′(t)dt=A(b)−A(a)。
定理一:
(1)ddt(A(t)+B(t))=ddtA(t)+ddtB(t);
(2)ddt(A(t)B(t))=B(t)⋅ddtA(t)+A(t)⋅ddtB(t);
(3)ddt(aA(t))=dadt⋅A(t)+addtA(t)。
定理二:
(1)ddtetA=AetA=etAA;
(2)ddtcos(tA)=−A(sin(tA))=−(sin(tA))A;
(3)ddtsin(tA)=A(cos(tA))=(cos(tA))A。
定理三:
(1)∫t1t0(A(t)+B(t))dt=∫t1t0A(t)dt+∫t1t0B(t)dt;
(2)∫t1t0A(t)Bdt=(∫t1t0A(t)dt)B(B 与 t 无关);
(3)∫t1t0A⋅B(t)dt=A(∫t1t0B(t)dt)(A 与 t 无关)。
定义
导数:矩阵 A(t)=(aij(t))m×n 的每个元素可微,则称 A(t) 可微,其导数(微商)定义为 A′(t)=ddtA(x)=(ddtaij(t))m×n;积分:如果 A(t) 的每个元素都是 [t0,t1] 上的可积函数,则定义 A(t) 在 [t0,t1] 上的积分为 ∫t1t0A(t)dt=(∫t1t0aij(t)(d)t)m×n;
连续性:
当 aij(t) 在 [t0,t1] 上连续时,称 A(t) 在 [t0,t1] 上连续,且有 ddt∫taA(s)ds=A(t);
当 a′ij(t) 都在 [t0,t1] 上连续时,∫baA′(t)dt=A(b)−A(a)。
定理
以下是矩阵微分和积分的运算规则,可自行证明:定理一:
(1)ddt(A(t)+B(t))=ddtA(t)+ddtB(t);
(2)ddt(A(t)B(t))=B(t)⋅ddtA(t)+A(t)⋅ddtB(t);
(3)ddt(aA(t))=dadt⋅A(t)+addtA(t)。
定理二:
(1)ddtetA=AetA=etAA;
(2)ddtcos(tA)=−A(sin(tA))=−(sin(tA))A;
(3)ddtsin(tA)=A(cos(tA))=(cos(tA))A。
定理三:
(1)∫t1t0(A(t)+B(t))dt=∫t1t0A(t)dt+∫t1t0B(t)dt;
(2)∫t1t0A(t)Bdt=(∫t1t0A(t)dt)B(B 与 t 无关);
(3)∫t1t0A⋅B(t)dt=A(∫t1t0B(t)dt)(A 与 t 无关)。
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