Codeforces Round #404 D. Anton and School - 2 （范德蒙恒等式+组合数）

D. Anton and School - 2

题意

给定一个字符串 s ，只含有字符

(

和

)

。问 s 有多少个子序列 sub ，满足如下条件：

sub 不为空串

sub 为偶数长度

sub 串的前半串均为

(

sub 串的后半串均为

)

分析

应该比较容易能得到一个公式：

对于串 s ，对串的每一个字符进行枚举。

如果第 i 个字符为

)

，不考虑该字符对答案的贡献（

(

与

)

对称，若统计对答案相当于

乘2

效果，重复计算）

如果第 i 个字符为

(

，则该字符对答案的贡献为：

​ 令该

(

的左边有 preX[i-1] 个

(

，该

(

的右边有 sufY[i+1] 个

)

。

ans+=Σmin(preX[i], sufY[i+1])j=0CjpreX[i]×CjsufY[i+1]−Σmin(preX[i−1], sufY[i+1])j=0CjpreX[i−1]×CjsufY[i+1]

很显然直接套用该公式会 T。

但是，该公式可以套用 范德蒙恒等式 的一个推论化简。

范德蒙恒等式： 推论：Ckm+nCmm+n=Σki=0Cim×Ck−in=Σmi=0Cim×Cinm≤n

故公式可化简为：

ans+=Cmin(preX[i],sufY[i+1])preX[i]+sufY[i+1]−Cmin(preX[i−1],sufY[i+1])preX[i−1]+sufY[i+1]

至于计算组合数 ，可通过乘法逆元快速求取（数值范围过大，打表预处理行不通）。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int LEN = 200000 + 10;
const int mod = 1e9 + 7;
char s[LEN];
int preX[LEN], sufY[LEN];
long long pre[LEN];

//----------------求组合数 ----------//

// ------ 乘法逆元 --------//
int extend_gcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
if(b==0) {
x = 1;  y = 0;
return a;
} else {
int r = extend_gcd(b, a%b, y, x);
y -= x*(a/b);
return r;
}
}
int mod_inverse(int b, int p) {
int x, y;   extend_gcd(b, p, x, y);
return (x % p + p) % p;
}
//-------乘法逆元 END-------//

long long C(int n, int i)
{
if(i == n || i == 0)  return 1;
long long fac = pre
* mod_inverse(pre[n-i], mod);
fac %= mod;
return (fac * mod_inverse(pre[i], mod)) % mod;
}
//----------------求组合数 END ----------//
void init() {
pre[1] = 1;
for(int i=2;i<LEN;i++) {
pre[i] = pre[i-1] * i;
if(pre[i] > mod)    pre[i] %= mod;
}
}

int main()
{
init();
scanf(" %s",s);
int len = strlen(s);
preX[0] = s[0] == '(' ? 1 : 0;
for(int i=1;i<len;i++)
preX[i] = preX[i-1] + (s[i] == '(' ? 1 : 0);
for(int i=len-1;i>=0;i--)
sufY[i] = sufY[i+1] + (s[i] == ')' ? 1 : 0);
long long ans = 0;
for(int i=0;i<len;i++)
{
if(i && preX[i] == preX[i-1])   continue;
ans += C(preX[i] + sufY[i+1], min(preX[i], sufY[i+1]));
ans -= C(preX[i-1] + sufY[i+1], min(preX[i-1], sufY[i+1]));
(ans %= mod) += mod;
}
printf("%d\n",ans % mod);
}