能量项链--动态规划
2017-03-15 23:04
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题目描述
在Mars星球上,每个Mars人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有N颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子,这些标记对应着某个正整数。并且,对于相邻的两颗珠子,前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样,通过吸盘(吸盘是Mars人吸收能量的一种器官)的作用,这两颗珠子才能聚合成一颗珠子,同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为m,尾标记为r,后一颗能量珠的头标记为r,尾标记为n,则聚合后释放的能量为m*r*n(Mars单位),新产生的珠子的头标记为m,尾标记为n。
需要时,Mars人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子,通过聚合得到能量,直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然,不同的聚合顺序得到的总能量是不同的,请你设计一个聚合顺序,使一串项链释放出的总能量最大。
例如:设N=4,4颗珠子的头标记与尾标记依次为(2,3) (3,5) (5,10) (10,2)。我们用记号◎表示两颗珠子的聚合操作,(j◎k)表示第j,k两颗珠子聚合后所释放的能量。则第4、1两颗珠子聚合后释放的能量为:
(4◎1)=10*2*3=60。
这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为
((4◎1)◎2)◎3)=10*2*3+10*3*5+10*5*10=710。
输入
第一行是一个正整数N(4≤N≤100),表示项链上珠子的个数。第二行是N个用空格隔开的正整数,所有的数均不超过1000。第i个数为第i颗珠子的头标记(1≤i≤N),当i〈N时,第i颗珠子的尾标记应该等于第i+1颗珠子的头标记。第N颗珠子的尾标记应该等于第1颗珠子的头标记。
至于珠子的顺序,你可以这样确定:将项链放到桌面上,不要出现交叉,随意指定第一颗珠子,然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。
输出
只有一行,是一个正整数E(E≤2.1*10^9),为一个最优聚合顺序所释放的总能量。
样例输入
样例输出
710首先需要说明的是,样例输入很有迷惑性;因为按照顺序计算就可以得到最大值,(10,2)(2,3)(3,5))(5,10)所以最先想到的是,排序,然后找到最小的那个依次计算;然而问题为1-n的释放能量的最大值。 继续分析,分解一下问题,是否每一个结果组成部分都是最大值,即从 i 到 j 的珠子所释放的能量 max[i, j] = max[i, k] + max [k+1, j] + a[i]*a[k+1]*a[j];而显然可以知道这个问题是满足这个递推式的,即问题满足最优子结构 和 前一个子问题的解与后一个子问题的解没有关系,可以用反证法证明。所以可以得到如上递推式,实现的时候用2*N 存放连续的整数对 #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[220][220];
int a[220];
int ans;
int main()
{
int N,i,j,k;
cin>>N;
for(i=1; i<=N; i++){
cin>>a[i];
a[N+i] = a[i];
}
memset(dp,0,sizeof(dp));
// dp[i][j] 表示从i到j所表示的乘积的最大值 (i到j的珠子所聚合的能量的最大值)
for(j=1;j<N; j++){
for(i=1; i+j<2*N; i++){
int tmp=0;
for(k=0; k<j; k++){
tmp = max(tmp, dp[i][k+i] + dp[i+k+1][i+j]+a[i]*a[i+k+1]*a[i+j+1]);
}
dp[i][i+j] = tmp;
}
}
ans = 0;
for(i=1; i<=N; i++){
ans = max(ans,dp[i][i+N-1]);
}
cout<<ans<<endl;
}
在Mars星球上,每个Mars人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有N颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子,这些标记对应着某个正整数。并且,对于相邻的两颗珠子,前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样,通过吸盘(吸盘是Mars人吸收能量的一种器官)的作用,这两颗珠子才能聚合成一颗珠子,同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为m,尾标记为r,后一颗能量珠的头标记为r,尾标记为n,则聚合后释放的能量为m*r*n(Mars单位),新产生的珠子的头标记为m,尾标记为n。
需要时,Mars人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子,通过聚合得到能量,直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然,不同的聚合顺序得到的总能量是不同的,请你设计一个聚合顺序,使一串项链释放出的总能量最大。
例如:设N=4,4颗珠子的头标记与尾标记依次为(2,3) (3,5) (5,10) (10,2)。我们用记号◎表示两颗珠子的聚合操作,(j◎k)表示第j,k两颗珠子聚合后所释放的能量。则第4、1两颗珠子聚合后释放的能量为:
(4◎1)=10*2*3=60。
这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为
((4◎1)◎2)◎3)=10*2*3+10*3*5+10*5*10=710。
输入
第一行是一个正整数N(4≤N≤100),表示项链上珠子的个数。第二行是N个用空格隔开的正整数,所有的数均不超过1000。第i个数为第i颗珠子的头标记(1≤i≤N),当i〈N时,第i颗珠子的尾标记应该等于第i+1颗珠子的头标记。第N颗珠子的尾标记应该等于第1颗珠子的头标记。
至于珠子的顺序,你可以这样确定:将项链放到桌面上,不要出现交叉,随意指定第一颗珠子,然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。
输出
只有一行,是一个正整数E(E≤2.1*10^9),为一个最优聚合顺序所释放的总能量。
样例输入
4 2 3 5 10
样例输出
710首先需要说明的是,样例输入很有迷惑性;因为按照顺序计算就可以得到最大值,(10,2)(2,3)(3,5))(5,10)所以最先想到的是,排序,然后找到最小的那个依次计算;然而问题为1-n的释放能量的最大值。 继续分析,分解一下问题,是否每一个结果组成部分都是最大值,即从 i 到 j 的珠子所释放的能量 max[i, j] = max[i, k] + max [k+1, j] + a[i]*a[k+1]*a[j];而显然可以知道这个问题是满足这个递推式的,即问题满足最优子结构 和 前一个子问题的解与后一个子问题的解没有关系,可以用反证法证明。所以可以得到如上递推式,实现的时候用2*N 存放连续的整数对 #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[220][220];
int a[220];
int ans;
int main()
{
int N,i,j,k;
cin>>N;
for(i=1; i<=N; i++){
cin>>a[i];
a[N+i] = a[i];
}
memset(dp,0,sizeof(dp));
// dp[i][j] 表示从i到j所表示的乘积的最大值 (i到j的珠子所聚合的能量的最大值)
for(j=1;j<N; j++){
for(i=1; i+j<2*N; i++){
int tmp=0;
for(k=0; k<j; k++){
tmp = max(tmp, dp[i][k+i] + dp[i+k+1][i+j]+a[i]*a[i+k+1]*a[i+j+1]);
}
dp[i][i+j] = tmp;
}
}
ans = 0;
for(i=1; i<=N; i++){
ans = max(ans,dp[i][i+N-1]);
}
cout<<ans<<endl;
}
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