划分数, n的m划分 [dp计数] 《挑战程序设计竞赛》2.3

有n个无区别的物品，将它们划分为不超过m组，求出划分方法数模M的余数。

限制条件：

1≤m≤n≤1000

2≤M≤10000

这样的划分被称作n的m划分，dp数组可以这么定义：

dp[i][j]=j 的i划分的总数。

递推关系的难点在于不重复。我们采用一种标准将问题化为子问题，这个标准需要用到一种新的定义。我们定义n的m 划分具体为一个集合ai，ai满足∑mi=1ai=n 。可以看出ai里一共有m个数，这m个数不一定大于0。

这个标准是：是否存在某个ai=0；这样可以将ai分为两种情况：

1、不存在某个ai=0

此时ai的个数等于ai−1的个数，即 n–m的m 划分。理解起来并不难，集合里每个数都减去1，一共减了m个。

此时dp[i][j]=dp[i][j−i] 。

2、存在某个ai=0

此时{a_i}的个数等于 n的m–1 划分。可以这样思考，存在ai=0，说明划分一定不足m组，那么至少可以少分一组同时满足划分数相同。

此时dp[i][j]=dp[i−1][j] 。

那么ai总的划分数就是这两种情况的综合，dp[i][j]=dp[i][j−i]+dp[i−1][j]。

看<挑战程序设计竞赛>的时候没看懂, 于是google到一篇不错的博客. 转过来便于自己理解.

原文地址:http://www.hankcs.com/program/m-n-recursive-division.html