信号处理——滤波器

滤波器有四种表示形式：差分方程、脉冲函数、传输函数和频率响应。其中前两个是定义在实数域中，后两个定义在复数域中。

差分方程

脉冲函数

传输函数

频率响应

首先看一下离散傅里叶变换的定义。

我们由滤波器的差分形式退出滤波器的频率响应形式。假设有滤波器的差分方程为：

ΣNk=0aky[n−k]=ΣMk=0bkx[n−k]

对每一项进行离散傅里叶变换，得到：

a0Y(Ω)+a1e−jΩY(Ω)+a2e−j2ΩY(Ω)+⋯+aNe−jNΩY(Ω)=b0X(Ω)+b1e−jΩX(Ω)+b2e−j2ΩX(Ω)+⋯+bMe−jMX(Ω)

得到：

H(Ω)=Y(Ω)X(Ω)=b0+b1e−jΩ+b2e−j2Ω+⋯+bMe−jMa0+a1e−jΩ+a2e−j2Ω+⋯+aNe−jNΩ

称H(Ω)为滤波器的频率响应。H(Ω)是复数，可以用极坐标形式表示H(Ω)=|H(Ω)|ejθ(Ω)，|H(Ω)表示滤波器在数字频率Ω处的增益，θ(Ω)是相位差。

正弦输入：

现在把余弦（或正弦）信号(频域上的)写成简写形式，方便在频域中计算。比如输入x[n]=Acos(nΩ0+θX)的X(Ω)可以记作A|θX。假设在频率Ω0下，频率响应的增益为H，相位差为θ，那么频率响应可以简写成H|θ，那么DFT的相乘现在很容易计算：

Y(Ω)=H(Ω)X(Ω)=(H|θ)(A|θX)=HA | θ+θX

而且很容易再转换到实数域上：

y[n]=HAcos(nΩ0+θ+θX)

幅度响应和相位响应

幅度响应是增益|H(Ω)|和Ω之间的关系图，相位响应是相位差θ(Ω)和|Omega之间的关系图。频率响应可以用幅度响应和相位响应表示。

注意，所有的幅度响应都是周期为2π的偶函数；所有的相位响应都是周期为2π的奇函数。所以两个响应图的自变量范围只需要在[0,π]上就可以表示所有情况。

滤波器的形状由幅度响应给出，幅度响应说明了滤波器的类型，如低通、高通、带通、带阻。

但是给定滤波器的频率响应H(Ω)，我们是没有办法画出它的幅度响应曲线的。那怎么判断滤波器的类型呢？可以通过极零点位置确定滤波器的形状。假设滤波器的传输函数为：

H(z)=K(z−z0)(z−p0)(z−p1)

其中K是增益，zj是零点，pj是极点，那么滤波器的形状为：

|H(Ω)|=K|ejΩ−z0||ejΩ−p0||ejΩ−p1|=K×(半径为1的上半圆上Ω对应的点到z0的距离)(半径为1的上半圆上Ω对应的点到p0的距离)(半径为1的上半圆上Ω对应的点到p1的距离)

当极点和零点比较靠近单位圆时，会导致幅值大小的剧烈变化，标明滤波器的选择性比较好。