51Nod-1120-机器人走方格 V3

ACM模版

描述

题解

这道题和 V2 所用算法基本相似，都是求组合，并且数据比较大，需要用到 Lucas 定理。

核心是求卡特兰数，我是第二次听说这个数，之前在整理 ACM 模版时看过，但是对它并不敏感，昨天看了一些题解后略微了解了一些，卡特兰数 * 2 就是这道题的结果，因为分为上下两部分嘛。卡特兰数公式为 C(2n, n) / (n + 1)，也等价于 C(2n, n) - C(2n, n - 1)，如果使用前者，那么涉及到一个除法，由于数据比较大，这里需要用到乘法逆元来转换为乘法，如果用后者，也就没什么可说了。

至于怎么求组合，也是有门路的，具体的看我整理的模版吧，里面涉及的数学原理我也解释不太清楚，之前在51的讨论区讨论过这个问题，但是时间长了，只记得大概了，今天抽空再琢磨琢磨这个组合的问题和卡特兰数。

代码

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int MOD = 10007;

int fac[MOD + 5];
int inv[MOD + 5];

int QPow(int x, int n)
{
int ret = 1;
int tmp = x % MOD;

while (n)
{
if (n & 1)
{
ret = (ret * tmp) % MOD;
}
tmp = tmp * tmp % MOD;
n >>= 1;
}

return ret;
}

void init()
{
fac[0] = 1;
for (int i = 1; i < MOD; i++)
{
fac[i] = fac[i - 1] * i % MOD;
}
inv[MOD - 1] = QPow(fac[MOD - 1], MOD - 2);
for (int i = MOD - 2; i >= 0; i--)
{
inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % MOD;
}
}

inline int C(int n, int m)
{
if (n < m)
{
return 0;
}
return fac
* inv[m] % MOD * inv[n - m] % MOD;
}

int lucas(int n, int m)
{
return m == 0 ? 1 : C(n % MOD, m % MOD) * lucas(n / MOD, m / MOD) % MOD;
}

int main()
{
init();

int n;
scanf("%d", &n);
n--;
printf("%d\n", (lucas(n << 1, n) + MOD - lucas(n << 1, n - 1)) % MOD * 2 % MOD);

return 0;
}

参考

《组合数学相关》