数位dp+矩阵乘法 【bzoj3329】Xorequ

题目大意：

给定方程x^3x=2x

求出在n以内的正整数解的个数，答案不模1e9+7

求出在2^n以内的正整数解的个数，答案模1e9+7

题目分析：

根据异或运算的性质：

a^b=c <=> a=b^c

所以原方程可改写为x^2x=3x

继续转换：x^2x=x+2x

根据a+b=(a^b)+((a&b)<<1)得

x^2x=(x^2x)+((x&2x)<<1)

即x&2x=0

即x&(x<<1)=0

则可以推出 x任意相邻二进制位不都为1 <=> x为该方程的解。

第一问可以用二进制数位dp做,f[i][j][p]，i代表填到第i位，j代表填0还是填1，p代表是否是压着上限填。

第二问可以可以推出递推公式f[i]=f[i-1]+f[i-2]（可以理解为在i-1位二进制数前填0，在i-2位二进制数前填10）菲波那切数列，矩阵乘法入门题。

感慨:

这道写起来不难，但是我第一遍却写挂了。

写数位dp和矩阵乘法这种糟心的东西，即使很水，果然也还是要心平气和，头脑清醒的时候去写。

否则会越写越糟心啊=。=

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=1e9+7;
int T;
ll n;
struct squ{
ll a[2][2];
squ(ll a00=0,ll a01=0,ll a10=0,ll a11=0)
{
a[0][0]=a00; a[0][1]=a01;
a[1][0]=a10; a[1][1]=a11;
}
squ operator * (const squ &c)const
{
static squ z;
for(int i=0;i<2;i++)
for(int j=0;j<2;j++)
{
z.a[i][j]=0;
for(int k=0;k<2;k++)
z.a[i][j]=(z.a[i][j]+a[i][k]*c.a[k][j])%mod;
}
return z;
}
}I=squ(1,0,0,1),pre=squ(1,1,0,0),trans=squ(0,1,1,1);
squ Fast_Power(squ a,long long k)
{
squ ans=pre;
while(k)
{
if(k&1) ans=ans*a;
a=a*a;
k>>=1;
}
return ans;
}
ll f[64][2][2];
ll dp(ll n)
{
memset(f,0,sizeof(f));
f[63][0][1]=1;
for(int i=62;i>=0;i--)
for(int j=0;j<2;j++)
for(int p=0;p<2;p++)
{
int pp=0;
if(p==1 && j>((n>>i)&1)) continue;
if(p==1 && j==((n>>i)&1)) pp=1;
for(int k=0;k<2;k++)
if(!(k&j)) f[i][j][pp]+=f[i+1][k][p];
}
return f[0][0][1]+f[0][0][0]+f[0][1][0]+f[0][1][1]-1;
}
int main()
{
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%lld",&n);
ll ans1=dp(n);
squ ans2=Fast_Power(trans,n);
printf("%lld\n%lld\n",ans1,ans2.a[0][1]);
}
return 0;
}