最长公共子序列LCS

    首先，我们说到了子序列，就不得不区别它与字串的概念。子序列是指字符串中不连续的一段字符，而字串是字符串中连续的一段，大家应该都明白了吧。

    再来说说LIS，指的是两个字符串中最长公共子序列。如字符串“abcde”与“afcgeh”最长公共子序列为“ace”，最长公共子序列的长度为3。我们首先想到的是在一个字符串中取出一个子序列，再与另一个字符串的子序列比较，最后找到最长的一个子序列。假设两个字符串长度为n和m，用这个思想写出的程序时间复杂度为O（2^n*2^m）；如此耗时肯定是不可行的。

   其实，这道题可以用dp（动态规划）来做。dp的重点在于找到动态转移方程。我们开一个二维的dp数组，dp
[m],其中n与m分别是两个字符串的长度，其中dp的值初始化为0。dp[i][j]来保存前一个位置的匹配情况，假设两个字符串命名为a,b，经过分析我们会发现：

   在字符串a的第i-1个位置和字符串b的第j-1个位置上，如果字符a[i-1]与字符b[j-1]相同。则把该字符插入到所求的最长公共子序列中，相应的dp[i][j]的值等于字符串a的第i-1的位置与字符串b的第j-1的位置的匹配情况dp[i-1][j-1]加1，即dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1；

   如果在字符串a的第i-1个位置和字符串b的第j-1个位置上。如果字符a[i-1]与字符b[j-1]不相同，很容易的想到在字符串a的第i个位置和字符串b的第j个位置的匹配情况应该取：字符串a的第i-1个位置与字符串b的第j个位置，和字符串a的第i个位置与字符串b的第j-1个位置匹配情况的最大值。即dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])。



  通过这种方式循环到最后，dp
[m]的值即为字符串a与字符串b的最长公共子序列的长度，代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <cmath>
#include <queue>
using namespace std;
const int maxn=1100;
int n,m,dp[maxn][maxn];
char a[maxn],b[maxn];
int main()
{
while(~scanf("%d %d",&n,&m))
{
scanf("%s",a);
scanf("%s",b);
//       memset(dp,0,sizeof(dp));
for(int i=0; i<=n; i++)
dp[i][0]=0;
for(int i=0; i<=m; i++)
dp[0][i]=0;
for(int i=1; i<=n; i++)
{
for(int j=1; j<=m; j++)//dp保存前一个位置的匹配情况，所以要遍历到n和m
{
if(a[i-1]==b[j-1])
{
dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
}
else
{
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
}
}
}
//        for(int i=1; i<=n; i++)
//        {
//            for(int j=1; j<=m; j++)
//            {
//                printf("%d ",dp[i][j]);
//            }
//            printf("\n");
//        }
printf("%d\n",dp
[m]);
}
return 0;
}

希望对大家有所帮助(^_^)。