bzoj2005 [Noi2010]能量采集
2017-03-12 17:38
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Description
栋栋有一块长方形的地,他在地上种了一种能量植物,这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后,栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐,一共有n列,每列有m棵,植物的横竖间距都一样,因此对于每一棵植物,栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示,其中x的范围是1至n,表示是在第x列,y的范围是1至m,表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大,不便移动,栋栋将它放在了一个角上,坐标正好是(0, 0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有k棵植物,则能量的损失为2k + 1。例如,当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时,由于连接线段上存在一棵植物(1, 2),会产生3的能量损失。注意,如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物,则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。 下面给出了一个能量采集的例子,其中n = 5,m = 4,一共有20棵植物,在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。 在这个例子中,总共产生了36的能量损失。Input
仅包含一行,为两个整数n和m。Output
仅包含一个整数,表示总共产生的能量损失。Sample Input
【样例输入1】5 4
【样例输入2】
3 4
Sample Output
【样例输出1】36
【样例输出2】
20
对于100%的数据:1 ≤ n, m ≤ 100,000。
正解:莫比乌斯函数。
容易得出,题目要我们求的是$Ans=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[2*(gcd(i,j)-1)+1]$。那么我们一堆乱搞就行了。
从而得到$Ans=2\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}gcd(i,j)-n*m$。
$Ans=2\sum_{d=1}^{min(n,m)}d*\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==d]-n*m$。
$Ans=2\sum_{d=1}^{min(n,m)}d*\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor}\sum_{j=1}^{\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor}[gcd(i,j)==1]-n*m$。
$Ans=2\sum_{d=1}^{min(n,m)}d*\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor}\sum_{j=1}^{\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor}\sum_{q|gcd(i,j)}\mu(q)-n*m$。
$Ans=2\sum_{d=1}^{min(n,m)}d*\sum_{q=1}^{min(\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor,\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor)}\mu(q)*\left \lfloor \frac{n}{dq}\right \rfloor\left \lfloor \frac{m}{dq} \right \rfloor-n*m$。
然后我们运用数论分块,可以将时间复杂度优化至$O(n\sqrt{n})$或$O(n)$。于是,这道题就被解决了。
//It is made by wfj_2048~ #include <algorithm> #include <iostream> #include <cstring> #include <cstdlib> #include <cstdio> #include <vector> #include <cmath> #include <queue> #include <stack> #include <map> #include <set> #define inf (1<<30) #define N (100010) #define il inline #define RG register #define ll long long #define min(a,b) (a<b ? a : b) #define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout) using namespace std; int vis ,mu ,prime ,n,m,nn,mm,cnt,pos1,pos2; ll ans,anss; il int gi(){ RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar(); while ((ch<'0' || ch>'9') && ch!='-') ch=getchar(); if (ch=='-') q=-1,ch=getchar(); while (ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar(); return q*x; } il void sieve(){ vis[1]=mu[1]=1; for (RG int i=2;i<=m;++i){ if (!vis[i]) vis[i]=1,mu[i]=-1,prime[++cnt]=i; for (RG int j=1,k=i*prime[j];j<=cnt && k<=m;++j,k=i*prime[j]){ vis[k]=1; if (i%prime[j]) mu[k]=-mu[i]; else{ mu[k]=0; break; } } } for (RG int i=1;i<=m;++i) mu[i]+=mu[i-1]; return; } il void work(){ n=gi(),m=gi(); if (n>m) swap(n,m); sieve(); for (RG int d=1;d<=n;d=pos1+1){ pos1=min(n/(n/d),m/(m/d)),nn=n/pos1,mm=m/pos1,anss=0; for (RG int i=1;i<=nn;i=pos2+1){ pos2=min(nn/(nn/i),mm/(mm/i)); anss+=(ll)(nn/pos2)*(ll)(mm/pos2)*(ll)(mu[pos2]-mu[i-1]); } ans+=(ll)(d+pos1)*(ll)(pos1-d+1)/2*anss; } printf("%lld\n",2*ans-(ll)n*(ll)m); return; } int main(){ File("energy"); work(); return 0; }
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