蓄水池采样算法（Reservoir Sampling）

蓄水池采样算法：

问题描述：

采样问题经常会被遇到，比如：

从 100000 份调查报告中抽取 1000 份进行统计。

从一本很厚的电话簿中抽取 1000 人进行姓氏统计。

从 Google 搜索 “Ken Thompson”，从中抽取 100 个结果查看哪些是今年的。

这些都是很基本的采用问题。

既然说到采样问题，最重要的就是做到公平，也就是保证每个元素被采样到的概率是相同的。所以可以想到要想实现这样的算法，就需要掷骰子，也就是随机数算法。（这里就不具体讨论随机数算法了，假定我们有了一套很成熟的随机数算法了）

对于第一个问题，还是比较简单，通过算法生成 [0,100000−1)[0,100000−1) 间的随机数 1000 个，并且保证不重复即可。再取出对应的元素即可。

但是对于第二和第三个问题，就有些不同了，我们不知道数据的整体规模有多大。可能有人会想到，我可以先对数据进行一次遍历，计算出数据的数量 NN，然后再按照上述的方法进行采样即可。这当然可以，但是并不好，毕竟这可能需要花上很多时间。也可以尝试估算数据的规模，但是这样得到的采样数据分布可能并不平均。

问题本质：

从一个序列中随机抽取不重复的k个数，保证每个数被抽取到的概率相等。

求解：

首先构建一个可放k个元素的蓄水池，将序列的前k个元素放入蓄水池中。

然后从第k+1个元素开始，以k/n的概率来决定该元素是否被替换到池子中。 当遍历完所有元素之后，就可以得到随机挑选出的k个元素。复杂度为O(n).

其伪代码如下：

Init: a reservoir with size k
for i=k to N-1  //index start from 0
M= random(1, i);
if (M<k)
SWAP the Mth element with the ith
end for

证明：

求证：每个数被取到的概率为k/n。



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