中国(北方)大学生程序设计训练赛(第一周)E. water problem

函数 f:Z+→Zf:Z+→Z。已知 f(1)，f(2)f(1)，f(2) 的值，且对于任意 x>1x>1，有 f(x+1)=f(x)+f(x−1)+sin(πx2)f(x+1)=f(x)+f(x−1)+sin⁡(πx2)。

求 f(n)f(n的值

多组数据。（数据组数 T≤100T≤100）

每组数据包含 33 个不超过 109109 的正整数，分别代表 f(1)，f(2)f(1)，f(2) 和 nn 的值。
输出 f(n)mod(109+7)f(n)mod(109+7)。每组输出末尾有换行符。

题意:

题目类似斐波那契数列，但比斐波那契数列多了一项。

思路：

首先回忆斐波那契数列的计算方法：

一、递归

直接按照递推公式递归运算，此方法有大量重复计算，导致n趋近不足100就无法在有限时间内计算出来，通常作为递归讲解的例子。

二、动态规划（dp）

为了避免重复计算，我们通常用一个数组记录已经计算的值，采用记忆化搜索的动态规划，就可以减少重复计算。

根据dp
= dp[n-1] + dp[n-2] 从第三项开始迭代即可。

此方法的时间复杂度为O(n)，线性时间复杂度，考虑在1s内，无法计算大于1e8的数据范围。

三、矩阵快速幂

数列的递推公式为：f(1)=1，f(2)=2，f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n>=3)

　　 用矩阵表示为：



　　进一步，可以得出直接推导公式：



所以，对矩阵[1,1,1,0]进行n-2次幂运算，就可以计算出f(n)的值，此时由于幂运算可以使用快速幂运算，可以用矩阵快速幂来进行计算。

此时的时间复杂度为O(logN)

对比斐波那契数列，将其推广

由于本题中的递推关系非线性，即有sin项的约束，f(x+1)=f(x)+f(x−1)+sin(πx2)f(x+1)=f(x)+f(x−1)+sin⁡(πx2)。我们展开两项，得到f(x)
= f(x-1) + f(x-3) + f(x-4)，通过sin的周期性，消去了常数项。

得到了一个四阶线性递推公式。

类比斐波那契数列的方法，我们需要找一个转移矩阵，满足上述矩阵运算。

由于斐波那契数列是二阶递推数列，所以存在一个2*2的矩阵A，使得：

[Fn Fn-1] = [Fn-1 Fn-2] * A      

所以以上的四阶递推公式也一定存在一个4*4的矩阵A，满足

[Fn Fn-1 Fn-2 … Fn-k+1] = A*[Fn-1 Fn-2 Fn-3 …
Fn-k]

                                          = …

                                          = An-k+1 *[Fk-1 Fk-2 Fk-3 … F0]  
 

这里的k=5；

根据以上地推关系，拼凑出矩阵A（转移矩阵） 为[1 0 1 1,1 0 0 0，0 1 0 0，0 0 1 0]

在计算矩阵的幂时，首先我们定义矩阵乘法的运算法则（矩阵乘法公式），然后对指数进行快速幂处理，通过减少乘法次数，化时间为对数量级。

ac代码：

#include <cstdio>

#include <iostream>

using namespace std;

const int MOD = 1000000007;

struct matrix

{

    long long m[4][4];

}ans, base;

matrix multi(matrix a, matrix b)

{

    matrix tmp;

    for(int i = 0; i < 4; ++i)

    {

        for(int j = 0; j < 4; ++j)

        {

            tmp.m[i][j] = 0;

            for(int k = 0; k < 4; ++k)

                tmp.m[i][j] = (tmp.m[i][j] + ((a.m[i][k]%MOD) *(b.m[k][j]%MOD))%MOD) % MOD;

        }

    }

    return tmp;

}

int fast_mod(int n)  // 求矩阵 base 的  n 次幂

{

    base.m={{1,0,1,1},{1,0,0,0},{0,1,0,0},{0,0,1,0}};

      // ans 初始化为单位矩阵

    ans.m={{1,0,0,0},{0,1,0,0},{0,0,1,0},{0,0,0,1}};

    while(n)

    {

        if(n & 1)  //实现 ans *= t; 其中要先把 ans赋值给 tmp，然后用 ans = tmp * t

        {

            ans = multi(ans, base);

        }

        base = multi(base, base);

        n >>= 1;

    }

    return ans.m[0][1];

}

int main()

{

    int a,b,m;

    while(scanf("%d%d%d", &a,&b,&m)!= -1)

    {

        if(m==1)

        printf("%d\n",a);

        if(m==2)

        printf("%d\n",b);

        if(m==3)

        printf("%d\n",a+b);

        if(m>3)

        {

           fast_mod(m-4);

           long long sum=(((ans.m[0][0]%MOD)*4)%MOD+((ans.m[0][1]%MOD)*3)%MOD+((ans.m[0][2]%MOD)*2)%MOD+((ans.m[0][3]%MOD)*1)%MOD)%MOD;

           printf("%lld\n",sum);

        }

    }

    return 0;

}