动态规划-钢条切割

一、问题描述

    一家公司购买长钢条，将其切割成短钢条出售，切割本身没有成本，长度为i的短钢条的价格为Pi。那给定一段长度为n的钢条和一个价格表Pi,求钢条的切割方案使得收益Rn最大。如一个Pi如下：

长度i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
价格Pi	1	5	8	9	10	17	17	20	24	30

    在距离钢条左端i长度处，我们总是可以选择切割或者不切割，所以长度为n的钢条共有2的n-1次方种不同的切割方案.

    对于上述价格表样例，我们可以观察所有最优收益值Ri及对应的最优解方案：

        R1 = 1，切割方案1 = 1（无切割）
    R2 = 5，  切割方案2 = 2（无切割）

    R3 = 8，  切割方案3 = 3（无切割）

    R4 = 10， 切割方案4 = 2 + 2

    R5 = 13， 切割方案5 = 2 + 3

    R6 = 17， 切割方案6 = 6（无切割）

    R7 = 18， 切割方案7 = 1 + 6或7 = 2 + 2 + 3

    R8 = 22， 切割方案8 = 2 + 6

    R9 = 25， 切割方案9 = 3 + 6

    R10 = 30，切割方案10 = 10（无切割）

    更一般地，对于Rn（n >= 1），我们可以用更短的钢条的最优切割收益来描述它：

   Rn = max(Pn, R1 + Rn-1, R2 + Rn-2,...,Rn-1 + R1)

    首先将钢条切割为长度为i和n - i两段，接着求解这两段的最优切割收益Ri和Rn - i，（每种方案的最优收益为两段的最优收益之和），由于无法预知哪种方案会获得最优收益，我们必须考察所有可能的i，选取其中收益最大者

源码实现

int Steel(int* length, int* price, int N)
{
int i, j;
memset(dp, 0, sizeof(dp));

for(i = 1; i <= N; i++)
{
int p = price[i];
for(j = 0; j <= i; j++)
{
p = max(p, dp[j] + dp[i-j]);
}
dp[i] = p;
}
return dp
;
}