UVALive 4050 Hanoi Towers（记忆化搜索）

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此题为题目链接中的H题。

首先，对于一般的汉诺塔而言会有一个递归的策略，

假设要将n个盘从A移动到C，首先需要将上面的n-1个盘移到B，再将最后一个盘移到C，再将那n-1个盘移到C。

递归求解就可以得到移动n个盘的最小步数。

回到这道题，这道题相比较于一般的汉诺塔而言，多了移动策略的限制。

这个移动策略限制带来的影响其实只有一个，就是你不能将某些盘子一下子就移动到你想要的位置。

用上面的例子来说的话，当你想要移动上面的n-1个盘子的时候，你并不能够决定这n-1个盘子最终会被移动到B还是C。

但是有一个是可以确定的，当需要从某条柱子移动n个盘子出去的话，它的步数和终点是确定。

于是我们可以将这两个记忆下来，当搜索到重复的就直接返回即可。

接着就是如何搜索的问题。对于移动n个盘子的策略，依照传统汉诺塔的解决策略的启发，可分解为移动上面n-1个盘子和移动最大的那个盘子。

首先是移动上面n-1个盘子，递归搜索进去得到移动这些盘子所耗费的步数和最终移动到哪里。

接着是移动最下面的盘子，由于刚移动完上面n-1个盘子所以最小的那个盘子不可能被选中，就只有最大的盘子被选中，

而且最大的盘子只能移动到剩下的那根空柱子，于是最大的盘子的移动策略只有一种，就是移动到剩下的那根空柱子。

接着继续递归搜索那n-1个盘子的移动，如此循环直到那n-1个盘子跟最大的盘子叠在一起，搜索结束，记录结果并返回。

可以证明，在搜索n个盘子的移动的时候，最大的盘最多只会被移动2次，所以每个状态的搜索分支是常数级的，总时间复杂度应该为O(n)（大概想一下是这样的，不过我的程序跑了3ms，所以就很奇怪）。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

long long dp[40][4];
int reach[40][4];

int From[10];
int To[10];

void dfs(int m,int pos)
{
if(dp[m][pos]!=-1)return;
if(m==1)
{
for(int i=0;i<6;i++)
{
if(From[i]==pos)
{
dp[m][pos]=1;
reach[m][pos]=To[i];
return;
}
}
}
dp[m][pos]=0;
int p1=pos,p2=pos;
while(true)
{
dfs(m-1,p1);
dp[m][pos]+=dp[m-1][p1];
if(reach[m-1][p1]==p2)break;
p1=reach[m-1][p1];
p2=6-(p1+p2);
dp[m][pos]++;
}
reach[m][pos]=p2;
}

int main()
{
int n;
while(scanf("%d",&n)==1)
{
memset(dp,-1,sizeof(dp));
for(int i=0;i<6;i++)
{
char s[10];
scanf("%s",s);
From[i]=s[0]-'A'+1;
To[i]=s[1]-'A'+1;
}
dfs(n,1);
printf("%lld\n",dp
[1]);
}
return 0;
}