莫比乌斯函数之和(51nod 1244)
2017-03-10 10:58
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莫比乌斯函数,由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出。梅滕斯(Mertens)首先使用μ(n)(miu(n))作为莫比乌斯函数的记号。具体定义如下:
如果一个数包含平方因子,那么miu(n) = 0。例如:miu(4), miu(12), miu(18) = 0。
如果一个数不包含平方因子,并且有k个不同的质因子,那么miu(n) = (-1)^k。例如:miu(2), miu(3), miu(30) = -1,miu(1), miu(6), miu(10) = 1。
给出一个区间[a,b],S(a,b) = miu(a) + miu(a + 1) + ...... miu(b)。
例如:S(3, 10) = miu(3) + miu(4) + miu(5) + miu(6) + miu(7) + miu(8) + miu(9) + miu(10)
= -1 + 0 + -1 + 1 + -1 + 0 + 0 + 1 = -1。
Input
Output
Input示例
Output示例
如果一个数包含平方因子,那么miu(n) = 0。例如:miu(4), miu(12), miu(18) = 0。
如果一个数不包含平方因子,并且有k个不同的质因子,那么miu(n) = (-1)^k。例如:miu(2), miu(3), miu(30) = -1,miu(1), miu(6), miu(10) = 1。
给出一个区间[a,b],S(a,b) = miu(a) + miu(a + 1) + ...... miu(b)。
例如:S(3, 10) = miu(3) + miu(4) + miu(5) + miu(6) + miu(7) + miu(8) + miu(9) + miu(10)
= -1 + 0 + -1 + 1 + -1 + 0 + 0 + 1 = -1。
Input
输入包括两个数a, b,中间用空格分隔(2 <= a <= b <= 10^10)
Output
输出S(a, b)。
Input示例
3 10
Output示例
-1
#include<cstdio> #include<iostream> #define N 2000010 #define mod 2333333 #define lon long long #ifdef unix #define LL "%lld" #else #define LL "%I64d" #endif using namespace std; int pri ,num,mul ,mark ,sum ,head[mod+10],cnt; struct node{ lon to;int pre,val; };node e ; void get_prime(){ mul[1]=1; for(int i=2;i<N;i++){ if(!mark[i]) pri[++num]=i,mul[i]=-1; for(int j=1;j<=num&&i*pri[j]<N;j++){ mark[i*pri[j]]=1; mul[i*pri[j]]=-mul[i]; if(i%pri[j]==0){mul[i*pri[j]]=0;break;} } } } void add(int u,lon v,int val){ e[++cnt].to=v; e[cnt].val=val; e[cnt].pre=head[u]; head[u]=cnt; } int solve(lon x){ if(x<N) return sum[x]; int y=x%mod,r=1; for(int i=head[y];i;i=e[i].pre) if(e[i].to==x) return e[i].val; lon last; for(lon i=2;i<x;i=last+1){ last=(x/(x/i)); r-=solve(x/i)*(last-i+1); } add(y,x,r); return r; } int main(){ lon a,b;scanf(LL LL,&a,&b); get_prime(); for(int i=1;i<N;i++) sum[i]=sum[i-1]+mul[i]; printf("%d",solve(b)-solve(a-1)); return 0; }
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