Nim博弈(hdu 2176)
2017-03-09 18:53
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代表当前状态的子状态最多能有多少种走法的异或和;
通常的Nim游戏的定义是这样的:
有若干堆石子,每堆石子的数量都是有限的,合法的移动是“选择一堆石子并拿走若干颗(不能不拿)”,如果轮到某个人时所有的石子堆都已经被拿空了,则判负(因为他此刻没有任何合法的移动)。
结论:
必败状态:a1^a2^……^an=0
必胜状态:a1^a2^…….^an=k (其中k不为零)
证明:
terminal position只有一个,就是全0,异或仍然是0。
对于某个局面(a1,a2,…,an),若a1^a2^…^an!=0,一定存在某个合法的移动,将ai改变成ai’后满足a1^a2^…^ai’^…^an=0。不妨设a1^a2^…^an=k,则一定存在某个ai,它的二进制表示在k的最高位上是1(否则k的最高位那个1是怎么得到的)。这时ai^k< ai一定成立。则我们可以将ai改变成ai’=ai^k,此时a1^a2^…^ai’^…^an=a1^a2^…^an^k=0。
对于某个局面(a1,a2,…,an),若a1^a2^…^an=0,一定不存在某个合法的移动,将ai改变成ai’后满足a1^a2^…^ai’^…^an=0。因为异或运算满足消去率,由a1^a2^…^an=a1^a2^…^ai’^…^an可以得到ai=ai’。所以将ai改变成ai’不是一个合法的移动
通常的Nim游戏的定义是这样的:
有若干堆石子,每堆石子的数量都是有限的,合法的移动是“选择一堆石子并拿走若干颗(不能不拿)”,如果轮到某个人时所有的石子堆都已经被拿空了,则判负(因为他此刻没有任何合法的移动)。
结论:
必败状态:a1^a2^……^an=0
必胜状态:a1^a2^…….^an=k (其中k不为零)
证明:
terminal position只有一个,就是全0,异或仍然是0。
对于某个局面(a1,a2,…,an),若a1^a2^…^an!=0,一定存在某个合法的移动,将ai改变成ai’后满足a1^a2^…^ai’^…^an=0。不妨设a1^a2^…^an=k,则一定存在某个ai,它的二进制表示在k的最高位上是1(否则k的最高位那个1是怎么得到的)。这时ai^k< ai一定成立。则我们可以将ai改变成ai’=ai^k,此时a1^a2^…^ai’^…^an=a1^a2^…^an^k=0。
对于某个局面(a1,a2,…,an),若a1^a2^…^an=0,一定不存在某个合法的移动,将ai改变成ai’后满足a1^a2^…^ai’^…^an=0。因为异或运算满足消去率,由a1^a2^…^an=a1^a2^…^ai’^…^an可以得到ai=ai’。所以将ai改变成ai’不是一个合法的移动
#include<cstdio> #include<cmath> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> const int maxn=1e6+10; using namespace std; int x[maxn]; int main() { int n; while(~scanf("%d",&n)&&n) { int s=0; for(int i=0;i<n;i++) { scanf("%d",&x[i]); s^=x[i]; } if(s==0) { printf("No\n"); continue; } printf("Yes\n"); for(int i=0;i<n;i++) { int num=s^x[i];//除过x[i]外其余所有数的异或值 if(num<x[i])//当两个值相等时其异或值才为0,如果这个值小于x[i]则可以令当前值取num令局面变为必败态 printf("%d %d\n",x[i],num); } } }
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