GYM 100827 F.Knights（dp+矩阵快速幂）

Description

一个m*n棋盘，可以在上面放若干马，问有多少中放法使得马之间不会互相冲突

Input

第一行一整数T表示用例组数，每组用例输入两个整数m和n分别表示棋盘的行列数(1<=T<=10,1<=m<=4,1<=n<=1e9)

Output

对于每组用例输出合法方案数

Sample Input

4

1 2

2 2

3 2

4 31415926

Sample Output

4

16

36

413011760

Solution

在第i列放马只会影响第i+1和i+2列（前面的列不会影响，因为这个位置能放马说明没有被前面的影响到 ），那么只要推出i,i+1两列到i+1,i+2两列的状态转移矩阵再矩阵快速幂即可，状态转移矩阵也比较好推，三列只有至多十二个位置，4096种状态，每次看i,i+1这两列的状态x是否能够转移到i+1,i+2这两列的状态y，只需要把这三行的马放好之后判断即可，合法那么A[x][y]=1，否则A[x][y]=0

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define maxn 256
#define mod 1000000009ll
struct Mat
{
int mat[maxn][maxn];//矩阵
int row,col;//矩阵行列数
};
Mat mod_mul(Mat a,Mat b,ll p)//矩阵乘法
{
Mat ans;
ans.row=a.row;
ans.col=b.col;
memset(ans.mat,0,sizeof(ans.mat));
for(int i=0;i<ans.row;i++)
for(int k=0;k<a.col;k++)
if(a.mat[i][k])
for(int j=0;j<ans.col;j++)
{
ans.mat[i][j]+=1ll*a.mat[i][k]*b.mat[k][j]%p;
ans.mat[i][j]%=p;
}
return ans;
}
Mat mod_pow(Mat a,int k,ll p)//矩阵快速幂
{
Mat ans;
ans.row=a.row;
ans.col=a.col;
for(int i=0;i<a.row;i++)
for(int j=0;j<a.col;j++)
ans.mat[i][j]=(i==j);
while(k)
{
if(k&1)ans=mod_mul(ans,a,p);
a=mod_mul(a,a,p);
k>>=1;
}
return ans;
}
int T,n,m,a[5][5];
void deal(int x)
{
for(int i=0;i<3*m;i++)
if(x&(1<<i))a[i/m][i%m]=1;
else a[i/m][i%m]=0;
}
int dx[]={-2,-2,-1,-1,1,1,2,2};
int dy[]={-1,1,-2,2,-2,2,-1,1};
bool check()
{
for(int i=0;i<3;i++)
for(int j=0;j<m;j++)
if(a[i][j])
for(int k=0;k<8;k++)
{
int ii=i+dx[k],jj=j+dy[k];
if(ii<0||ii>=3||jj<0||jj>=m)continue;
if(a[ii][jj])return 0;
}
return 1;
}
Mat A,B;
int main()
{
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%d%d",&m,&n);
if(n==1)
{
printf("%d\n",1<<m);
continue;
}
int M=1<<(2*m),N=1<<(3*m);
B.row=M,B.col=1;
for(int i=0;i<M;i++)
{
deal(i);
B.mat[i][0]=check();
}
A.row=A.col=M;
memset(A.mat,0,sizeof(A.mat));
for(int i=0;i<N;i++)
{
int x=i>>m,y=i&(M-1);
deal(i);
if(check())A.mat[x][y]=1;
}
A=mod_pow(A,n-2,mod);
A=mod_mul(A,B,mod);
ll ans=0;
for(int i=0;i<M;i++)ans=(ans+A.mat[i][0])%mod;
printf("%I64d\n",ans);
}
return 0;
}