欧拉+逆元-洛谷P2155 [SDOI2008]沙拉公主的困惑

https://daniu.luogu.org/problem/show?pid=2155

这个题目信息量蛮大的；

首先一个定理

(x,y)=(x,y-x)//x>y

这个就是gcd啊；

设(x,y)=t;

t|x;

t|y

∴(x,y-x)=t;

那么

(x,y+k*x)=(x,y)

即

若一个数x与m!互质，那么x+(m!)也一定与m!互质，(x+m!*2)也一定与m!互质

于是我们每存在到一个x<=m!与m!互质，我们就一定能找到(n!)/(m!)个与m!互质的数

所以题目就是让我们求

φ(m!)*(n!)/(m!) %p

这个用通式可以变成

n!*∏(pi-1)/pi

上面选自某犇博客

我们可以离线处理n!，但是我们不能边除边模

所以我们要求逆元；

用exgcd求逆元显然萎了；

那么我们怎么办？

这里

最后一步

inv[i] == -MOD / i * inv[MOD%i]

inv[i] == ( MOD - MOD / i) * inv[MOD%i]

道理和

((x-y)%mo+mo)%mo

是一样的；

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define Ll long long
using namespace std;
const int M=1e7;
Ll q[M+5],tot,p[M+5];//为了节约内存，我重复利用q,p数组
bool com[M+5];
Ll m,mo,x,y;
int read(){
int k=0;
char ch=getchar();
for (;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar());
for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) k=k*10+ch-48;
return k;
}
void findcom(){
com[1]=1;
for(int i=2;i<=M;i++){
if(!com[i]){q[++tot]=i;}
for(int j=1;j<=tot;j++){
if(i*q[j]>M)break;
com[i*q[j]]=1;
if(i%q[j]==0)break;
}
}
}
int inv(int x){
if(p[x])return p[x];return p[x]=(mo-mo/x)*inv(mo%x)%mo;
}
void findinv(){
q[1]=p[0]=p[1]=1;
for(int i=2;i<=M;i++)if(com[i])q[i]=q[i-1];else
q[i]=q[i-1]*(i-1)%mo*inv(i%mo)%mo;
}
void find1_N(){
p[1]=1;
for(int i=2;i<=M;i++)p[i]=p[i-1]*i%mo;
}
int main(){
m=read();mo=read();
findcom();
findinv();
find1_N();
while(m--){
x=read();y=read();
printf("%lld\n",p[x]*q[y%mo]%mo);
}
}

大家可以看到我求inv(i)时对i取模；

假如(i>mo)

那么令i=x+y*mo;

那么我们乘inv（i）就等于inv(x)；

这个用exgcd也可以证明