【POJ1741】Tree（点分治）

题意：

思路：点分治论文题

我们知道一条路径要么过根结点，要么在一棵子树中，这启发了我们可以使用分治算法。

记 Depth(i)表示点i 到根结点的路径长度， Belong(i) = X ( X 为根结点的某个儿子，且结点i 在以 X 为根的子树内)。

那么我们要统计的就是：

满足 Depth (i) + Depth ( j)<= K 且 Belong(i) <>Belong(j) 的 (i, j) 个数

= 满足 Depth(i) +Depth( j) <= K 的 (i, j) 个数

– 满足 Depth(i) + Depth( j) <= K 且 Belong(i) =Belong( j)的 (i, j) 个数

而对于这两个部分，都是要求出满足 Ai+Aj <= k 的(i, j) 的对数。

将 A 排序后利用单调性我们很容易得出一个O(N) 的算法，所以我们

可以用O(N log N)的时间来解决这个问题。

综上，此题使用树的分治算法时间复杂度为O(N log^2 N) 。 

1 var head,vet,next,len,son,flag,d:array[1..50000]of longint;
2     dep,f:array[0..50000]of longint;
3     n,m,i,x,y,z,tot,ans,sum,root,k:longint;
4
5 procedure swap(var x,y:longint);
6 var t:longint;
7 begin
8  t:=x; x:=y; y:=t;
9 end;
10
11 procedure add(a,b,c:longint);
12 begin
13  inc(tot);
14  next[tot]:=head[a];
15  vet[tot]:=b;
16  len[tot]:=c;
17  head[a]:=tot;
18 end;
19
20 function max(x,y:longint):longint;
21 begin
22  if x>y then exit(x);
23  exit(y);
24 end;
25
26 procedure getroot(u,fa:longint);
27 var e,v:longint;
28 begin
29  son[u]:=1; f[u]:=0;
30  e:=head[u];
31  while e<>0 do
32  begin
33   v:=vet[e];
34   if (v<>fa)and(flag[v]=0) then
35   begin
36    getroot(v,u);
37    son[u]:=son[u]+son[v];
38    f[u]:=max(f[u],son[v]);
39   end;
40   e:=next[e];
41  end;
42  f[u]:=max(f[u],sum-f[u]);
43  if f[u]<f[root] then root:=u;
44 end;
45
46 procedure getdeep(u,fa:longint);
47 var e,v:longint;
48 begin
49  inc(dep[0]); dep[dep[0]]:=d[u];
50  e:=head[u];
51  while e<>0 do
52  begin
53   v:=vet[e];
54   if (v<>fa)and(flag[v]=0) then
55   begin
56    d[v]:=d[u]+len[e];
57    getdeep(v,u);
58   end;
59   e:=next[e];
60  end;
61 end;
62
63 procedure qsort(l,r:longint);
64 var i,j,mid:longint;
65 begin
66  i:=l; j:=r; mid:=dep[(l+r)>>1];
67  repeat
68   while mid>dep[i] do inc(i);
69   while mid<dep[j] do dec(j);
70   if i<=j then
71   begin
72    swap(dep[i],dep[j]);
73    inc(i); dec(j);
74   end;
75  until i>j;
76  if l<j then qsort(l,j);
77  if i<r then qsort(i,r);
78 end;
79
80 function clac(u,now:longint):longint;
81 var l,r:longint;
82 begin
83  d[u]:=now; dep[0]:=0;
84  getdeep(u,0);
85  qsort(1,dep[0]);
86  clac:=0;
87  l:=1; r:=dep[0];
88  while l<r do
89  begin
90   if dep[l]+dep[r]<=k then begin clac:=clac+r-l; inc(l); end
91    else dec(r);
92  end;
93 end;
94
95 procedure work(u:longint);
96 var e,v:longint;
97 begin
98  ans:=ans+clac(u,0);
99  flag[u]:=1;
100  e:=head[u];
101  while e<>0 do
102  begin
103   v:=vet[e];
104   if flag[v]=0 then
105   begin
106    ans:=ans-clac(v,len[e]);
107    sum:=son[v];
108    root:=0;
109    getroot(v,root);
110    work(root);
111   end;
112   e:=next[e];
113  end;
114 end;
115
116 begin
117  assign(input,'poj1741.in'); reset(input);
118  assign(output,'poj1741.out'); rewrite(output);
119  while not eof do
120  begin
121   fillchar(head,sizeof(head),0);
122   fillchar(flag,sizeof(flag),0);
123   tot:=0;
124   readln(n,k);
125   if (n=0)and(m=0) then break;
126   for i:=1 to n-1 do
127   begin
128    readln(x,y,z);
129    add(x,y,z);
130    add(y,x,z);
131   end;
132   sum:=n; f[0]:=maxlongint; ans:=0;
133   getroot(1,0);
134   work(root);
135   writeln(ans);
136  end;
137  close(input);
138  close(output);
139 end.