BZOJ 2226 [Spoj 5971] LCMSum 数论

题目大意：求


(lcm为最小公倍数)

将lcm转化一下，把常量提到循环外，变为



枚举gcd，将式子化为



这里对循环里面的i乘以d，但对于限制i的条件来说就是除以d

对于里层的sigma求和，可以利用欧拉函数的性质：小于n的质数的和为n*phi(n)/2

答案为


线性预处理O(n)，询问O(1)

#include <cstdio>
#include <cmath>
#define N 1000000
typedef long long LL;
int top,phi[N+5],prime
;
bool k[N+5];
LL ans[N+5],sum[N+5];
void init() {
phi[1]=sum[1]=1;
for(int i=2;i<=N;i++) {
if(!k[i]) prime[++top]=i, phi[i]=i-1;
sum[i]=((LL)phi[i]*i)/2;
for(int j=1;i*prime[j]<=N;j++) {
k[prime[j]*i]=true;
if(i%prime[j]==0) {
phi[prime[j]*i]=phi[i]*prime[j];
break;
}
phi[prime[j]*i]=phi[i]*(prime[j]-1);
}
}
for(int i=1;i<=N;i++)
for(int j=i;j<=N;j+=i)
ans[j]+=sum[i];
return ;
}
int main() {
int T;
scanf("%d",&T);
init();
while(T--) {
int n;
scanf("%d",&n);
printf("%lld\n",ans
*n);
}
return 0;
}