红黑树C++实现以及与AVL树的区别

简介

红黑树也是二叉搜索树的一种，所以它也满足二叉搜索树的各类性质。但是红黑树还要同时满足下面几种规则。

在STL深度剖析中给出了四个规则：

1.结点不是红色就是黑色；

2.根结点是黑色；

3.如果结点是红色的，那么它的两个孩子要为黑色；

4.任一结点到NULL结点即尾结点的任何路径，经过黑色结点的个数相同。

其实满足这些性质之后还是可能产生不平衡的状态即两棵子树的高度差在1以上，但是可以确保没有一条路径会比其他路径长出两倍，从而达到基本平衡的状态。

RBTree与AVLTree以及普通二叉搜索树的区别：

普通二叉搜索树：

一般操作的执行时间为O（log2N），但是因为其不要求平衡结构所以它有可能退化成链表形式，这个时候时间复杂度变为O（N）。

AVLTree：

AVL树是高度平衡的二叉搜索树，在AVL树中任何结点的两个子树的高度差都不超过一，所以其各类操作的时间复杂度都为O（log2N）。这样就大大的降低了二叉搜索树的平均搜索长度，但是为了保持这种结构，不得不在每次插入或者是删除之后对树进行调整。

RBTree：

RBTree的平衡性没有AVLTree树的高，它只能保证每个结点的一条子树比另一条子树长不超过两倍。维持了基本的平衡状态，所以它的各类操作时间复杂度也为O（log2N）。这样就降低了AVLTree中的调整次数，提高了性能，而且平均搜索长度也和AVLTree相当。

结点定义

RBTree的结构和AVLTree差不多，不同的是没有了 _bf (平衡因子) ，取而代之的是_col元素（颜色），用来确定结点的颜色，用它来维持树的基本平衡。

enum Colour
{
RED,
BLACK,
};

template<class K,class V>
struct RBTreeNode
{
K _key;
V _value;
Colour _col;

RBTreeNode<K, V>* _left;
RBTreeNode<K, V>* _right;
RBTreeNode<K, V>* _parent;

RBTreeNode(const K& key, const V& value)
:_key(key)
, _value(value)
, _col(RED)
, _left(NULL)
, _right(NULL)
, _parent(NULL)
{}
};

插入操作

首先在这里我们要明白如果要满足RBTree的规则，就必须使新插入的结点为红，这样才能满足规则4，那么同时新增结点的父结点必须为黑色，这样才能满足规则3。

如果插入的是根结点，那么只需把插入的结点变黑，如果插入的结点的父结点为黑，则直接插入，不影响原来的平衡。在这里我们只考虑父结点在祖父结点的左孩子，在右孩子时为对称情况，不作详解。

然后有几种在RBTree的插入操作后要调整平衡的情况，可以分为三种情况：

1.当前结点的父结点为红，且叔叔结点也为红；

2.当前结点的父结点为红，叔叔结点为黑或者不存在，当前结点是其父结点的右孩子；

3.当前节点的父结点为红，叔叔结点为黑护着不存在，当前结点是其父结点的左孩子；

1.父结点为红，且叔叔结点也为红；

如图所示，要插入结点为2，这种情况只需要调色，为了满足RB树的性质，把父结点和叔结点调为红，再把祖父结点调红。再在函数结束时祖父结点调回黑色。

2.父结点为红，叔结点为黑或者不存在，当前结点在右孩子。

以叔结点为空为例，如图所示，要插入结点为4，按照二叉搜索树规则插入后发现34结点都为红，则需要旋转，先左旋一次得到图中第三种状态，再右旋一次得到平衡状态，在对其按照规则进行调色。

3.父结点为红，叔结点为黑或者不存在，当前结点在左孩子。

还是以叔结点为空为例，如图所示，要插入结点为1，找到插入位置后发现31结点都为红，而且单纯的调色无法达到RB树的要求，则需要旋转，进行一次右旋再进行调色得到图中的第三种状况，满足RB树。

代码实现

bool Insert(const K& key, const V& value)
{//插入
if (_root == NULL)
{
_root = new Node(key, value);
_root->_col = BLACK;
return make_pair(_root, true);
}

Node* cur = _root;
Node* parent = NULL;
while (cur)
{//找到要插入的位置
if (key > cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (key < cur->_key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
return false;
}
//插入结点
cur = new Node(key, value);
if (key > parent->_key)
{
parent->_right = cur;
cur->_parent = parent;
}
else
{
parent->_left = cur;
cur->_parent = parent;
}

while (parent&&parent->_col == RED)
{//父节点为红
Node* grandfather = parent->_parent;
if (grandfather->_left == parent)
{//父节点为左孩子
Node* uncle = grandfather->_right;

if (uncle && uncle->_col == RED)
{//叔结点存在且为红
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}
else
{//叔结点不为红或者不存在
if (cur == parent->_right)
{//插入结点为右孩子，先左旋，再调整父子关系
RotateL(parent);
swap(cur, parent);
}
//右旋后调色
RotateR(grandfather);
grandfather->_col = RED;
parent->_col = BLACK;
break;
}
}
else
{//父节点为左孩子，与上面的情况对称
Node* uncle = grandfather->_left;

if (uncle&&uncle->_col == RED)
{
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}
else
{
if (cur == parent->_left)
{
RotateR(parent);
swap(cur, parent);
}
else
{
RotateL(grandfather);
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
}
}
}
//根结点置黑
_root->_col = BLACK;

return true;
}

RBTree的检测

在这里我们检测这棵树是否为RBTree主要还是根据这棵树是否满足RBTree的4个性质，所以在实现检测时我们实现了两个函数，一个用来检测颜色是否满足性质，另一个用来检测黑色结点的数目。

代码实现

void IsRBTree()
{//判断是否满足红黑树
if (_root == NULL)
return true;

if (_root->_col == RED)
return false;

size_t count = 0;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_col == BLACK)
count++;
cur = cur->_left;
}

size_t num = 0;

return CheckColour(_root) && CheckBlackNum(_root, count, num);
}

bool CheckColour(Node* root)
{//检查颜色
if (root)
return true;

if (root->_col == RED &&root->_parent->_col == RED)
return false;

return CheckColour(root->_left) && CheckColour(root->_right);

}

bool CheckBlackNum(Node* root, const size_t &k, size_t num)
{//检查黑色结点数目
if (root == NULL)
return true;

if (root->_col == BLACK)
++num;

if (root->_left == NULL && root->_right == NULL && num != k)
return false;

return CheckBlackNum(root->_left) && CheckBlackNum(root->_right);
}