MST最小生成树 Kruskal算法
2017-03-07 17:46
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所谓最小生成树,就是在一个具有N个顶点的带权连通图G中,如果存在某个子图G’,其包含了图G中的所有顶点和一部分边,且不形成回路,并且子图G’的各边权值之和最小,则称G’为图G的最小生成树。
由定义我们可得知最小生成树的两个性质:
•最小生成树不能有回路。
•最小生成树边的个数等于顶点的个数减一。
Kruskal算法是一种用来寻找最小生成树的算法,由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法等。两种算法都是贪婪算法的应用。
Kruskal算法的基本思想是将图G中的边按权值从小到大依次选取,若
选取的边使生成树不形成回路,则把它并入TE中,若形成回路则将其
舍弃,直到TE中包含N-1条边为止,此时TE为最小生成树
将各顶点划分为所属集合的方法来解决,每个集合的表示一个无回路的子集。开始时边集为空,N个顶点分属N个集合,每个集合只有一个顶点,表示顶点之间互不连通。
当从边集中按顺序选取一条边时,若它的两个端点分属于不同的集合,则表明此边连通了两个不同的部分,因每个部分连通无回路,故连通后仍不会产生回路,此边保留,同时把相应两个集合合并。
这可以用并查集来完成。
由定义我们可得知最小生成树的两个性质:
•最小生成树不能有回路。
•最小生成树边的个数等于顶点的个数减一。
Kruskal算法是一种用来寻找最小生成树的算法,由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法等。两种算法都是贪婪算法的应用。
Kruskal算法的基本思想是将图G中的边按权值从小到大依次选取,若
选取的边使生成树不形成回路,则把它并入TE中,若形成回路则将其
舍弃,直到TE中包含N-1条边为止,此时TE为最小生成树
关键问题
如何判断欲加入的一条边是否与生成树中边构成回路?将各顶点划分为所属集合的方法来解决,每个集合的表示一个无回路的子集。开始时边集为空,N个顶点分属N个集合,每个集合只有一个顶点,表示顶点之间互不连通。
当从边集中按顺序选取一条边时,若它的两个端点分属于不同的集合,则表明此边连通了两个不同的部分,因每个部分连通无回路,故连通后仍不会产生回路,此边保留,同时把相应两个集合合并。
这可以用并查集来完成。
过程图如下
#include<iostream> #include<vector> #include<algorithm> using namespace std; int parent[5005]; struct Edge { int a; int b; int value; }; Edge edge[200005]; int find(int index) { if(index == parent[index]) return index; else return parent[index] = find(parent[index]); } void join(int a,int b) { int fa = find(a),fb = find(b); if(fa != fb) parent[fa] = fb; } bool same(int a,int b) { int fa = find(a),fb = find(b); return fa == fb; } bool cmp(const Edge &x,const Edge &y) { return x.value < y.value; } int main() { int n,m,ans=0,a,b,v,e=0; cin >> n >> m ; for(int i=1;i<=n;i++) parent[i] = i; for(int i=1;i<=m;i++) { cin >> edge[i].a >> edge[i].b >> edge[i].value; } sort(edge+1,edge+m+1,cmp); for(int i=1;i<=m;i++) { if(!same(edge[i].a,edge[i].b)) { join(edge[i].a,edge[i].b); ans += edge[i].value; e++; } if(e == n-1) { break; } } if(ans == 0)//无解,不要在意orz { cout<<"orz"; } else { cout << ans; } }
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