漫步数学分析二十八——狄利克雷与阿贝尔测试

在我们判断一致收敛的时候，某些情况下魏尔斯特拉斯M测试会失效，为此挪威数学家尼尔斯阿贝尔(Niels Abel)以及狄利克雷(Dirichlet)分别提出了两种测试方法，这些方法对许多实例都是非常有用的，尤其是研究傅里叶与幂级数的时候，当我们碰到一致收敛却不是绝对收敛的时候，这些方法非常重要。

定理13(阿贝尔测试) 令A⊂Rm,φn:A→R是递减的函数序列；即对每个x∈A,φn+1(x)≤φn(x)。假设有一个常数M 使得对所有的x∈A,n，不等式|φn(x)|≤M成立，如果Σ∞n=1fn(x)在A上一致收敛，那么Σ∞n=1φn(x)fn(x)也一致收敛。

如果我们取φn(x),fn为常函数，那么就得到一般技术的测试，如果φn是递增的，我们可以用类似的测试方法，只需要将其应用到−φn上即可。相关的方法就是下面的狄利克雷测试。

定理14(狄利克雷测试) 对序列fn:A⊂Rm→R，令sn(x)=Σnm=1fm(x)，假设有一个常数M使得对所有的x∈A,n，不等式|sn(x)|≤M成立，令gn:A⊂Rm→R是gn→0(一致)，gn≥0,gn+1≤gn(x)，那么Σ∞n=1fn(x)gn(x) 在A上一致收敛。

例如，考虑交错级数Σ(−1)ngn(x)，其中gn≥0,gn(x)→0(一致)并且gn+1≤gn。令fn(x)=(−1)n，那么|sn(x)|≤1故Σ(−1)ngn(x)一致收敛。注意，作为特殊情况，递减到零的交错级数是收敛的。

注意，这些定理虽然相似，但却是不一样的。定理13中φn的条件没有说明φn一致收敛，另外，定理13中我们也没有要求φn≥0。这些定理的证明需要用到阿贝尔部分和公式，会在后面文章给出。

例1：说明Σ∞1(sinnx)/n在[δ,π−δ],δ>0上一致收敛。

解：我们想在fn(x)=sinnx,gn(x)=1/n上应用定理14，唯一的假设是|Σnl=1fl(x)|≤M，这个假设不太明显，为了我们需要介绍下面的方法。将函数写成

2sin(lx)sin(12x)=cos[(l−12)x]−cos[(l+12)x]

并且从l=1,…,n进行相加得到

2sin(12x)(sinx+⋯+sinnx)=cos12x−cos(n+12)x≤2

所以

sinx+⋯+sinnx≤1|sin12x|

这就是Σnl=1fl(x)的边界。只要sinx/2非零，那么边界就是有效的。例如，在[δ,π−δ] 上我们就得到有效的边界。注意这里的讨论相比M测试比较脆弱。

例2：说明Σ∞1(−1)ne−nx/n在[0,∞)上一致收敛。

解：这次我们利用定理13，令φn(x)=e−nx，对于x≥0,φn是递减的且|e−nx|≤1。我们已经知道Σ∞1(−1)n/n收敛，所以根据阿贝尔定理，级数一致收敛。

例3：令

f(x)=∑1∞(−1)nne−nx

说明f是连续的。

解：从例2以推论1可以立马得出结论。