bzoj1045: [HAOI2008] 糖果传递

传送门

首先，最终每个小朋友的糖果数量可以计算出来，等于糖果总数除以n，用ave表示。

假设标号为i的小朋友开始有Ai颗糖果，Xi表示第i个小朋友给了第i-1个小朋友Xi颗糖果，如果Xi<0，说明第i-1个小朋友给了第i个小朋友Xi颗糖果，X1表示第一个小朋友给第n个小朋友的糖果数量。 所以最后的答案就是ans=|X1| + |X2| + |X3| + ……+ |Xn|。

对于第一个小朋友，他给了第n个小朋友X1颗糖果，还剩A1-X1颗糖果；但因为第2个小朋友给了他X2颗糖果，所以最后还剩A1-X1+X2颗糖果。根据题意，最后的糖果数量等于ave，即得到了一个方程：A1-X1+X2=ave。

同理，对于第2个小朋友，有A2-X2+X3=ave。最终，我们可以得到n个方程，一共有n个变量，但是因为从前n-1个方程可以推导出最后一个方程，所以实际上只有n-1个方程是有用的。

尽管无法直接解出答案，但可以用X1表示出其他的Xi，那么本题就变成了单变量的极值问题。

对于第1个小朋友，A1-X1+X2=ave -> X2=ave-A1+X1 = X1-C1(假设C1=A1-ave，下面类似）

对于第2个小朋友，A2-X2+X3=ave -> X3=ave-A2+X2=2ave-A1-A2+X1=X1-C2

对于第3个小朋友，A3-X3+X4=ave -> X4=ave-A3+X3=3ave-A1-A2-A3+X1=X1-C3

……

对于第n个小朋友，An-Xn+X1=ave。

我们希望Xi的绝对值之和尽量小，即|X1| + |X1-C1| + |X1-C2| + ……+ |X1-Cn-1|要尽量小。注意到|X1-Ci|的几何意义是数轴上的点X1到Ci的距离，所以问题变成了：给定数轴上的n个点，找出一个到他们的距离之和尽量小的点，而这个点就是这些数中的中位数，证明略。

var
a,c:array [0..1000005] of int64;
n,i:longint;
s:int64;
procedure kp(l,r:longint);
var i,j:longint;
m,t:int64;
begin
i:=l; j:=r; m:=c[(l+r) div 2];
while (i<=j) do begin
while (c[i]<m) do inc(i);
while (c[j]>m) do dec(j);
if (i<=j) then begin
t:=c[i]; c[i]:=c[j]; c[j]:=t;
inc(i); dec(j);
end;
end;
if (l<j) then kp(l,j);
if (i<r) then kp(i,r);
end;
begin
read(n);
for i:=1 to n do read(a[i]);
for i:=1 to n do s:=s+a[i];
s:=s div n;
for i:=2 to n do c[i]:=c[i-1]-s+a[i];
kp(1,n);
s:=0;
for i:=1 to n do s:=s+abs(c[i]-c[(n+1) div 2]);
write(s);
end.