[题解]bzoj3884 上帝与集合的正确用法

Description

根据一些书上的记载，上帝的一次失败的创世经历是这样的：

第一天， 上帝创造了一个世界的基本元素，称做“元”。

第二天， 上帝创造了一个新的元素，称作“α”。“α”被定义为“元”构成的集合。容易发现，一共有两种不同的“α”。

第三天， 上帝又创造了一个新的元素，称作“β”。“β”被定义为“α”构成的集合。容易发现，一共有四种不同的“β”。

第四天， 上帝创造了新的元素“γ”，“γ”被定义为“β”的集合。显然，一共会有16种不同的“γ”。

如果按照这样下去，上帝创造的第四种元素将会有65536种，第五种元素将会有2^65536种。这将会是一个天文数字。

然而，上帝并没有预料到元素种类数的增长是如此的迅速。他想要让世界的元素丰富起来，因此，日复一日，年复一年，他重复地创造着新的元素……

然而不久，当上帝创造出最后一种元素“θ”时，他发现这世界的元素实在是太多了，以致于世界的容量不足，无法承受。因此在这一天，上帝毁灭了世界。

至今，上帝仍记得那次失败的创世经历，现在他想问问你，他最后一次创造的元素“θ”一共有多少种？

上帝觉得这个数字可能过于巨大而无法表示出来，因此你只需要回答这个数对p取模后的值即可。

你可以认为上帝从“α”到“θ”一共创造了10^9次元素，或10^18次，或者干脆∞次。

一句话题意：

Input

接下来T行，每行一个正整数p，代表你需要取模的值

Output

T行，每行一个正整数，为答案对p取模后的值

Sample Input

3

2

3

6

Sample Output

0

1

4

HINT

对于100%的数据，T<=1000,p<=10^7

Source

By PoPoQQQ

Solution

首先欧拉定理：

xa mod p=xa mod ϕ(p)+ϕ(p) mod p

然后就没有然后了……

因为设A=222222...，

那么根据欧拉定理有：

A mod p=2A mod p=2A mod ϕ(p)+ϕ(p) mod p

所以递归做下去直到模数为1就好了。

代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int maxn=10000000;
int T,phi[maxn+10],maxx,prime[maxn+10],p[1001];
bool not_prime[maxn+10];

void Make_phi(){
phi[1]=1;not_prime[1]=true;
for(int i=2;i<=maxx;i++){
if(!not_prime[i]){
prime[++prime[0]]=i;
phi[i]=i-1;
}
for(int j=1;j<=prime[0];j++){
if(i*prime[j]>maxx)break;
not_prime[i*prime[j]]=true;
if(i%prime[j]==0){
phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
break;
}
else{
phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
}
}
}
}
int pow(int x,int y,int mod){
int re=1;
while(y){
if(y&1)re=1LL*re*x%mod;
x=1LL*x*x%mod;y>>=1;
}
return re;
}
int Work(int mod){
if(mod==1)return 0;
return pow(2,Work(phi[mod])+phi[mod],mod);
}

int main(){
scanf("%d",&T);
for(int i=1;i<=T;i++){
scanf("%d",&p[i]);
maxx=max(maxx,p[i]);
}
Make_phi();
for(int i=1;i<=T;i++){
printf("%d\n",Work(p[i]));
}
return 0;
}