中国(北方)大学生程序设计训练赛(第一周)E. water problem

函数 f:Z+→Zf:Z+→Z。已知 f(1)，f(2)f(1)，f(2) 的值，且对于任意 x>1x>1，有 f(x+1)=f(x)+f(x−1)+sin(πx2)f(x+1)=f(x)+f(x−1)+sin⁡(πx2)。

求 f(n)f(n的值

多组数据。（数据组数 T≤100T≤100）

每组数据包含 33 个不超过 109109 的正整数，分别代表 f(1)，f(2)f(1)，f(2) 和 nn 的值。
输出 f(n)mod(109+7)f(n)mod(109+7)。每组输出末尾有换行符。

题意:

题目类似斐波那契数列，但比斐波那契数列多了一项。

思路：

首先回忆斐波那契数列的计算方法：

一、递归

直接按照递推公式递归运算，此方法有大量重复计算，导致n趋近不足100就无法在有限时间内计算出来，通常作为递归讲解的例子。

二、动态规划（dp）

为了避免重复计算，我们通常用一个数组记录已经计算的值，采用记忆化搜索的动态规划，就可以减少重复计算。

根据dp
= dp[n-1] + dp[n-2] 从第三项开始迭代即可。

此方法的时间复杂度为O(n)，线性时间复杂度，考虑在1s内，无法计算大于1e8的数据范围。

三、矩阵快速幂

数列的递推公式为：f(1)=1，f(2)=2，f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n>=3)

　　 用矩阵表示为：



　　进一步，可以得出直接推导公式：



所以，对矩阵[1,1,1,0]进行n-2次幂运算，就可以计算出f(n)的值，此时由于幂运算可以使用快速幂运算，可以用矩阵快速幂来进行计算。
此时的时间复杂度为O(logN)

对比斐波那契数列，将其推广

由于本题中的递推关系非线性，即有sin项的约束，f(x+1)=f(x)+f(x−1)+sin(πx2)f(x+1)=f(x)+f(x−1)+sin⁡(πx2)。我们展开两项，得到f(x)
= f(x-1) + f(x-3) + f(x-4)，通过sin的周期性，消去了常数项。

得到了一个四阶线性递推公式。

类比斐波那契数列的方法，我们需要找一个转移矩阵，满足上述矩阵运算。

由于斐波那契数列是二阶递推数列，所以存在一个2*2的矩阵A，使得：

[Fn Fn-1] = [Fn-1 Fn-2] * A      

所以以上的四阶递推公式也一定存在一个4*4的矩阵A，满足

[Fn Fn-1 Fn-2 … Fn-k+1] = A*[Fn-1 Fn-2 Fn-3 …
Fn-k]

                                          = …

                                          = An-k+1 *[Fk-1 Fk-2 Fk-3 … F0]
   

这里的k=5；

根据以上地推关系，拼凑出矩阵A（转移矩阵） 为[1 0 1 1,1 0 0 0，0 1 0 0，0 0 1 0]

在计算矩阵的幂时，首先我们定义矩阵乘法的运算法则（矩阵乘法公式），然后对指数进行快速幂处理，通过减少乘法次数，化时间为对数量级。

代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int mod = 1000000007;
long long s1[4][4] = {
{1,0,1,1},{1,0,0,0},{0,1,0,0},{0,0,1,0}
};
long long s2[4][4] = {
{1,0,0,0}, {0,1,0,0},{0,0,1,0},{0,0,0,1}
};
struct mat
{
long long m[4][4];
};
mat origin;
mat res;
mat multiply(mat temp1, mat temp2)
{
mat r;
for(int i = 0; i < 4; ++i)
for(int j = 0; j < 4; ++j)
{
r.m[i][j] = 0;
for(int k = 0; k < 4; ++k)
r.m[i][j] = (r.m[i][j] + ((temp1.m[i][k]*temp2.m[k][j])%mod))%mod;
}
return r;
}
mat calc(int n)
{

while(n)
{
if(n&1)
res=multiply(res,origin);
n>>=1;
origin=multiply(origin,origin);
}
return res;
}
int a, b, n;
int main()
{
while(cin >> a >> b >> n)
{
for(int i = 0; i < 4; ++i)
for(int j = 0; j < 4; ++j)
{
origin.m[i][j] = s1[i][j];
res.m[i][j] = s2[i][j];
}

long long res;
if(n == 1)
{
res = a;
}
else if(n == 2)
res = b;
else if(n == 3)
res = a+b;
else if(n == 4)
res = a+2*b-1;
else
{
mat r = calc(n-4);
res = ( (r.m[0][0]*(a+2*b-1))%mod + (r.m[0][1]*(a+b))%mod + (r.m[0][2]*b)%mod +(r.m[0][3]*a)%mod )%mod;
}
cout << res << endl;
}
}


个人记录一下学习历程，如有不足或者错误之处，请多多指点。谢谢