初等数论之算术基本定理

定理： 每个大于1的正整数n都可以被唯一地表示成素数的乘积； n的分解式n =  p1 ^ a1 * p2 ^ a2 * p3 ^ a3 ……* pk ^ ak;其中p1,p2,……pk是素数，p1 < p2 < p3 …… pk;;

性质如下：

         1. d(n) = (a1 + 1) * (a2 + 1) * (a3 + 1) *……*(ak + 1) ,为n的正因子的数目；

         2.$(n) = (p1 ^(a1 + 1) - 1) / (p1 - 1)  *    (p2^(a2 + 1) - 1 )/( p2 - 1)   * …… * （pk^(ak + 1) - 1）/(pk - 1) 为所有的因子的乘积；

         3.gcd(a,b) = p1 ^ min(a1,b1) * p2 ^min(a2,b2) * …… * pk^min(ak,bk);

         4.lcm(a,b) = p1^max(a1,b1) * p2 ^max(a2,b2) * …… *pk^max(ak,bk);

         5.max(gcd(a,b)) + min(gcd(a,b)) == a + b;

         6.n ! 分解素数p 的幂为 [n / p ] + [n / p ^2] + [n / p ^3]…… ,[]为floor运算

       

nefu 118 n!后面有多少个0

思路： 10是由2 和5 这两个素数构成的，直接判断2的个数和5的个数，两个去最小的就好了；

#include<iostream>
#include<cstdio>

using namespace std;
typedef long long ll;
#define INF 0x3f3f3f3f
int main()
{
int Tcase;
scanf("%d",&Tcase);
for(int ii = 1; ii <= Tcase; ii ++)
{
ll n;
scanf("%lld",&n);
ll temp;
int t1 = 0;
temp = 2;
while(n / temp >= 1)
{
t1 += n / temp;
temp *= 2;
}
int t2 = 0;
temp = 5;
while(n / temp >= 1)
{
t2 += n / temp;
temp *= 5;
}
cout << min(t1,t2) << endl;
}
return 0;
}

nefu 119组合素数

题意： 求C(2n,n)中有多少素数p，

思路： C（2n,n） = (2n)! / (n ! * n !),直接各自求出来然后相减一下就好了；

#include<iostream>
#include<cstdio>

using namespace std;
typedef long long ll;
#define INF 0x3f3f3f3f
int main()
{
int Tcase;
scanf("%d",&Tcase);
for(int ii = 1; ii <= Tcase; ii ++)
{
int n,p;
scanf("%d%d",&n,&p);
int ans = 0;
ll temp = p;
while(2 * n / temp >= 1)
{
ans += 2 *n / temp;
temp *= p;
}
int t = 0;
temp = p;
while(n / temp >= 1)
{
t += n / temp;
temp *= p;
}
cout <<ans - 2 * t << endl;
}
return 0;
}

n!后面有多少个0

n!后面有多少个0