51nod 1086 背包问题 V2 (多重背包问题)

1086 背包问题 V2


基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 40 难度：4级算法题


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有N种物品，每种物品的数量为C1，C2......Cn。从中任选若干件放在容量为W的背包里，每种物品的体积为W1，W2......Wn（Wi为整数），与之相对应的价值为P1,P2......Pn（Pi为整数）。求背包能够容纳的最大价值。

Input

第1行，2个整数，N和W中间用空格隔开。N为物品的种类，W为背包的容量。(1 <= N <= 100，1 <= W <= 50000)
第2 - N + 1行，每行3个整数，Wi，Pi和Ci分别是物品体积、价值和数量。(1 <= Wi, Pi <= 10000， 1 <= Ci <= 200)

Output

输出可以容纳的最大价值。

Input示例

3 6
2 2 5
3 3 8
1 4 1

Output示例

9

分析：

思路3：

我们看看有没有办法变成更好的0-1背包问题。 思路1的意思是说我们把第i种物品看成单个的，一个一个的，我们想想二进制，任何一个数都可以由二的幂表示。

我们试试看，比如Ci  = 14，我们可以把它化成如下4个物品：

重量是Wi，体积是Vi

重量是2 * Wi , 体积是2 * Vi

重量是4 * Wi , 体积是4 * Vi

重量是7 * Wi , 体积是7 * Vi

注意最后我们最后我们不能取，重量是8 * Wi , 体积是8 * Vi 因为那样总的个数是1 ＋ 2 ＋ 4 ＋ 8 ＝ 15个了，我们不能多取对吧？

我们用这4个物品代替原来的14个物品，大家可以试试原来物品无论取多少个，重量和体积都可以靠我们这几个物品凑出来，这说明我们这种分配方式和原来是等价的。

我们转化为一般方法，对于Ci ,我们的拆分方法是：

1，2，4，8…… 同时Ci减去这些值，如果Ci不够减了，则把最后剩余的算上，同时我们体积也对应乘以这些系数。这样Ci个同一种物品，被我们变成了logCi个物品了。于是按照0-1背包的做法，时间复杂变为O(W * sigma(logCi))了，降了很多。

code

//思路三：二进制 + 01背包思想
#include <iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
int w,va,c,w1[10010],va1[10010];
int dp[50010];
using namespace std;

int main()
{
int N,W;
int cnt=0;//二进制之后的物件个数
scanf("%d%d",&N,&W);
for(int i=1;i<=N;i++)
{
scanf("%d%d%d",&w,&va,&c);
for(int j=1;;j*=2)
{
if(c>=j){
w1[cnt]=j*w;
va1[cnt]=j*va;
c-=j;
cnt++;
}
else {
w1[cnt]=c*w;
va1[cnt]=c*va;
cnt++;
break;
}
}
}
for(int i=0;i<cnt;i++)
{
for(int j=W;j>=w1[i];j--)
dp[j]=max(dp[j],dp[j-w1[i]]+va1[i]);
}//一维 空间复杂度小
printf("%d\n",dp[W]);
return 0;
}