topcoder srm 708 div1 -3

1、定义一个字符串s，定义函数$f(s)=\sum_{i=1}^{i<|s|}[s_{i-1}\neq s_{i}]$，给定字符串$p,q$，定义函数$g(p,q)=\sum_{c='a'}^{c<='z'}count(p,c)*count(q,c)$。其中 $count(s,c)$表示字符$c$在$s$中出现的次数。给定整数N，构造一个包含N个字符串的集合$S$，每个字符串仅有小写字母构成且每个字符串长度不超过100，使得$S$满足$\sum_{s\in S}f(s)=\sum_{p,q\in S \wedge p\neq q}g(p,q)$。右侧计算了$\frac{N(N-1)}{2}$对串的$g$值。

思路：假定由w,x,y,z组成的串的长度都是1，那么他们只对$g$有贡献，而剩下的字符每两个构成一个串，且任意两个串不使用同一个字符，那么这些串只对$f$有贡献。

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <vector>
#include <map>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <string.h>
#include <set>
using namespace std;

#define F(x) ((x)*(x-1)/2)

class BalancedStrings
{
public:
vector<string> findAny(int N)
{
if(N<=26)
{
vector<string> ans;
for(int i=0;i<N;++i)
{
string s=""; s+='a'+i;
ans.push_back(s);
}
return ans;
}
for(int w=0;w<=N;++w) for(int x=w;w+x<=N;++x)
{
for(int y=x;w+x+y<=N;++y) for(int z=y;w+x+y+z<=N;++z)
{
const int S=F(w)+F(x)+F(y)+F(z);
const int K=N-w-x-y-z;

if(K>11) continue;

const int T=(S+98)/99;

if(T>K) continue;

vector<string> ans;
for(int i=1;i<=w;++i) ans.push_back("w");
for(int i=1;i<=x;++i) ans.push_back("x");
for(int i=1;i<=y;++i) ans.push_back("y");
for(int i=1;i<=z;++i) ans.push_back("z");
for(int i=0,x=0;i<T;++i)
{
const char c='a'+i*2;
string s=""; s+=c;
while(x<S&&s.size()<100)
{
(s.size()&1)?s+=c+1:s+=c;
++x;
}
ans.push_back(s);
}
char cur='v';
while(ans.size()<N)
{
string s=""; s+=cur; ans.push_back(s);
--cur;
}
return ans;
}
}
}
};

　

2、给定一个字符串s，定义$f(i)$表示包含$s_{i}$的子列中回文串的个数。定义$y_{i}=(i+1)*x_{i}%1000000007$。计算所有$y_{i}$的抑或值。

思路：定义$f(L,R)$表示仅由s[L~R]字符组成的回文串的个数，$g(L,R)$表示这样的回文串的个数：回文串的一半由s[0~L]中的字符构成,一半由s[R~|s|]字符组成。$f(L,R)=f(L+1,R)+f(L,R-1)-f(L+1,R-1)[s_{L}\neq s_{R}]$,$g(L,R)=g(L-1,R)+g(L,R+1)-g(L-1,R+1)[s_{L}\neq s_{R}]$。

$f$的理解方式：$f(L+1,R)=f(L+1,R-1)+{带有R不带有L}$，$f(L,R-1)=f(L+1,R-1)+{带有L不带有R}$，而如果$s_{L}\neq s_{R}$，那么$f(L+1,R-1)$就重算了；否则当$s_{L}和s_{R}$都要时的方案还是$f(L+1,R-1)$。这时候不需要减去。$g$的理解类似。

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <vector>
#include <map>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <string.h>
#include <set>
using namespace std;

const int mod=1000000007;
const int N=3005;

int f1

,f2

;

string S;

int dfs1(int ll,int rr)
{
if(ll>rr) return 1;
if(ll==rr) return 2;
if(f1[ll][rr]!=-1) return f1[ll][rr];
f1[ll][rr]=(dfs1(ll+1,rr)+dfs1(ll,rr-1))%mod;
if(S[ll]!=S[rr]) f1[ll][rr]=(f1[ll][rr]-dfs1(ll+1,rr-1))%mod;
return f1[ll][rr];
}

int dfs2(int ll,int rr)
{
if(ll<0||rr>=(int)S.size())  return 1;

if(f2[ll][rr]!=-1) return f2[ll][rr];
f2[ll][rr]=(dfs2(ll-1,rr)+dfs2(ll,rr+1))%mod;
if(S[ll]!=S[rr]) f2[ll][rr]=(f2[ll][rr]-dfs2(ll-1,rr+1))%mod;
return f2[ll][rr];
}

class PalindromicSubseq
{
public:
int solve(string s)
{
memset(f1,-1,sizeof(f1));
memset(f2,-1,sizeof(f2));
const int n=(int)s.size();
S=s;
int ans=0;
for(int i=0;i<n;++i)
{
int tmp=0;
for(int j=0;j<n;++j) if(s[i]==s[j])
{
const int ll=min(i,j);
const int rr=max(i,j);
tmp+=1ll*dfs1(ll+1,rr-1)*dfs2(ll-1,rr+1)%mod;
tmp%=mod;
}
if(tmp<0) tmp+=mod;
tmp=1ll*tmp*(i+1)%mod;
ans^=tmp;
}
return ans;
}
};