bzoj 3771: Triple 快速傅里叶变换+容斥原理

题意

给定n个物品，可以用一个/两个/三个不同的物品凑出不同的价值，求每种价值有多少种拼凑方案(顺序不同算一种)

分析

显然搞一波母函数然后直接上fft即可。

问题是怎么处理重复的。

设x为只选一个，y为选两个相同的，z为选三个相同的，那么答案就是x+(x*x-y)/2+(x*x*x-3*x*y+z*2)/6

解释一下，x就是只选一个，(x*x-y)/2表示选两个减去重复的再除以排列，(x*x*x-3*x*y+z*2)/6表示选三个然后减去两个相同的乘上其排列再加上两倍三个相同的。看不懂的话就自己画一个图看看吧。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<complex>
#include<cmath>
#define N 500005
#define pi acos(-1)
using namespace std;

typedef complex<double> com;

int n,m,rev
,lg;
com a
,b
,c
,ans
;

void fft(com *a,int f,int n)
{
for (int i=0;i<n;i++) if (i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
for (int i=1;i<n;i<<=1)
{
com wn(cos(pi/i),f*sin(pi/i));
for (int j=0;j<n;j+=(i<<1))
{
com w(1,0);
for (int k=0;k<i;k++)
{
com u=a[j+k],v=w*a[j+k+i];
a[j+k]=u+v;a[j+k+i]=u-v;
w*=wn;
}
}
}
if (f==-1) for (int i=0;i<n;i++) a[i]/=n;
}

int main()
{
scanf("%d",&n);
int mx=0;
for (int i=1;i<=n;i++)
{
int x;
scanf("%d",&x);
a[x]=b[x*2]=c[x*3]=1;
mx=max(mx,x*3);
}
for (m=1;m<=mx*2;m<<=1,lg++);
for (int i=0;i<m;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lg-1));
fft(a,1,m);fft(b,1,m);fft(c,1,m);
for (int i=0;i<m;i++)
ans[i]=a[i]+0.5*(a[i]*a[i]-b[i])+1.0/6*(a[i]*a[i]*a[i]-3.0*a[i]*b[i]+2.0*c[i]);
fft(ans,-1,m);
for (int i=0;i<m;i++)
if ((int)(ans[i].real()+0.1)>0) printf("%d %d\n",i,(int)(ans[i].real()+0.1));
return 0;
}