[POJ2891] Strange Way to Express Integers (扩展欧几里德)

[POJ2891] Strange Way to Express Integers (扩展欧几里德)

题目大意

求解一组同余方程

x ≡ r1 (mod a1)

x ≡ r2 (mod a2)

x ≡ r3 (mod a3)

……

x ≡ rk (mod ak)

的解x（a1,a2,a3,…..ak 并不一定互质）。如果不存在则输出-1.

输入格式

有多组数据，每组数组第一行为k，后面有k行，每行两个数，代表ai,ri。

输出格式

每一行对应每一个询问的解x。

###样例输入

2

8 7

11 9

样例输出

31

分析

看到这一题，可以发现好像问的就是中国剩余定理的问题，可是题目中a并不互质，无法用中国剩余定理来解决。不过我们可以从扩展欧几里德算法入手。

先来分析规模小一点的。

对于一组同余方程

{xmoda1=r1xmoda2=r2→{k1∗a1+r1=xk2∗a2+r2=x

我们可以上下两式相减得出

k1∗a1−k2∗a2=r2−r1

我们可以发现，这个式子可以用扩展欧几里德来求解。于是我们求出了k1

便可以将其带入原来的式子，求出x=k1∗a1+r1。这是两个方程的求解，面对多个方程，我们可以这样做：

假设我们刚才求出的是x1,而为了求出满足三个方程的解x2我们可以得到这样的式子

{x2modlcm(a1,a2)=x1x2moda3=r3

证明：

x2=k3∗lcm(a1,a2)+x1 ,因为k3∗lcm(a1,a2)这一块肯定能整除a1或a2,所以肯定会剩下一个c1,而c1恰好满足前面的方程

用同样的方法，我们可以求出满足所有式子的解。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <climits>
#define MAXN 10000+10
#define abs(a) a>0?a:-a
using namespace std;
long long e_gcd(long long a,long long b,long long& x,long long& y)
{
if(!b)
{
x=1;y=0;
return a;
}
long long ans=e_gcd(b,a%b,x,y);
long long tmp=x;
x=y;
y=tmp-a/b*y;
return ans;
}
long long a1,a2,b1,b2,x,y,gcd,t,c;
int main()
{
while(scanf("%lld",&t)!=EOF)
{
scanf("%lld%lld",&a1,&b1);
int flag=0;
if(t==1)
printf("%lld\n",b1);
else
{
for(int i=2;i<=t;i++)
{
scanf("%lld%lld",&a2,&b2);
if(flag)  continue;
gcd=e_gcd(a1,a2,x,y);
if((b2-b1)%gcd!=0) {flag=1;}
x*=(b2-b1)/gcd;
x%=a2/gcd;
if(x<0) x+=abs(a2/gcd);
c=a1*x+b1;
a1=a1/gcd*a2; b1=c;
}
}
if(flag==1) {printf("-1\n");continue;}
printf("%lld\n",c);

}

return 0;
}