[BZOJ 3994][SDOI 2015]约数个数 数学+反演

∑i=1n∑j=1nd(i,j)=∑i=1n∑j=1m⌊ni⌋∗⌊mj⌋,gcd(i,j)=1

主要就是这个公式吧,其他的都是很好写的莫比乌斯反演,一股脑的推就好了.对于这个式子如果想要看严格的证明的话就去看po姐的博客吧,很好懂的,但是后来我想出来一个感性认识的,不过我觉得肯定会被打脸,没事,我已经做好准备了

感性证明:

计算一个整数x的约数有多少个,我们可以这样来算,把x因数分解:

x=p1a1∗p2a2∗p3a3.......

这样x的约数个数就是(1+a1)(1+a2)(1+a3)……因为对于x的每一个约数都可以用分解出来的素数和不同次方相乘得到,而每一个数都可以有ai+1种选择.例如12=2^2 * 3,那么12的约数就有

1*1=1

1*2=2

1*4=4

1*3=3

2*3=6

4*3=12

联系刚才的性质可以很显然的发现12的每一个约数都可以由两个互质的数相成得到(假设1与所有数互质),因为对于x因数分解出来的每一个因数都是两两互质的,所以我们可以枚举互质的数,计算这个数可以在哪些数中间造成贡献,即是上面的公式.

严格的证明的话还是%%po姐吧,我就YY一下

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define maxn 50021
#define LL long long
using namespace std;
int n,m,mu[maxn],vis[maxn],pri[maxn],cnt;
int f[maxn],g[maxn],T;
void pre(){
mu[1]=1,f[1]=1;
for(int i=2;i<maxn;i++){
if(!vis[i]){pri[++cnt]=i;mu[i]=-1,f[i]=2,g[i]=1;}
for(int j=1;j<=cnt&&pri[j]*i<maxn;j++){
vis[pri[j]*i]=1;
mu[pri[j]*i]=-mu[i];
g[pri[j]*i]=1;
f[pri[j]*i]=f[i]*2;
if(i%pri[j]==0){
mu[i*pri[j]]=0;
g[pri[j]*i]=g[i]+1;
f[pri[j]*i]=f[i]/(g[i]+1)*(g[i]+2);
break;
}
}
}
for(int i=2;i<maxn;i++)f[i]+=f[i-1],mu[i]+=mu[i-1];
}
void solve(){
LL ans=0;
for(int j,i=1;i<=n;i=j+1){
j=min(n/(n/i),m/(m/i));
ans+=(LL)(mu[j]-mu[i-1])*f[n/i]*f[m/i];
}
printf("%lld\n",ans);
}
int main(){
pre();
scanf("%d",&T);
while(T--){
scanf("%d%d",&n,&m);
if(n>m)swap(n,m);
solve();
}
return 0;
}