【以前的空间】bzoj1009 [HNOI2008]GT考试

动态规划+kmp+矩阵快速幂

关于这题可以写出一个dp方程(f[i,j]表示准考证前i位中后j位为不吉利的数字的前j位的情况的个数）

f[i,j]=Σf[i-1,k]，其中j表示不吉利数字前k个数字加上某个数字后变成为不吉利数字的前j位（比如不吉利数字122123，然后现在k=5，那么如果填个3，j=6（123123）；填个2，j=3（122）；填个1，j=1（1）；填个0,j=0。

然后我们就可以发现……好像可以用kmp算法来优化每次k+某个数字可以转移到的j的位置……因为j包括了前k个数字，那么j一定是在k的失配函数+1位或者不存在。

但是这样的话时间复杂度依然因为n过大而报表……。

于是神奇的矩阵来了！

没有发现似乎式子是递推式么？！

也就是F(n)是可以通过F(n-1)得到的！F(n)表示f[n,0],f[n,1],f[n,2]……f[n,m-1]的集合，或者说……一个1*(m-1)的矩阵。

矩阵的定义白书有句话说的特别好：“把一个向量v变成另一个向量v'，并且v'的每个分量都是v各个分量的线性组合”。什么是线性组合……就是一个线性方程组！对于这题来说，线性方程组就是：

F(n)=A*F(n-1) （这里A叫友矩阵，其实就是转移关系）

如果写出矩阵，式子就变成

[f(n,0) ] [a[0,0] ,a[1,0] ,a[2,0] ,……，a[m-1,0] ] [f(n-1,0) ]

[f(n,1) ] [a[0,1] ,a[1,1] ,a[2,1] ,……，a[m-1,1] ] [f(n-1,1) ]

[f(n,2) ] = [a[0,2] ,a[1,2] ,a[2,2] ,……，a[m-1,2] ] * [f(n-1,2) ]

[ …… ] [ …… ] [ …… ]

[f(n,m-1)] [a[m-1,1],a[m-1,2],a[m-1,3],……，a[m-1,m-1]] [f(n-1,m-1)]

式子中的a[i,j]表示不吉利数字前i位加上某个数字后可以转的j位的数量。

前面说的线性组合是什么意思？矩阵其实是一个线性方程组，形式就是：

a[0,0]*f[n-1,0]+a[1,0]*f(n-1,1)+a[2,0]*f(n-1,2)+……+a[m-1,0]*f[n-1,m-1]=f[n,0];

a[0,1]*f[n-1,0]+a[1,1]*f(n-1,1)+a[2,1]*f(n-1,2)+……+a[m-1,1]*f[n-1,m-1]=f[n,1];

a[0,2]*f[n-1,0]+a[1,2]*f(n-1,1)+a[2,2]*f(n-1,2)+……+a[m-1,2]*f[n-1,m-1]=f[n,2];

…………………………………………………

a[0,m-1]*f[n-1,0]+a[1,m-1]*f（n-1,1)+a[2,m-1]*f(n-1,2)+……+a[m-1,m-1]*f[n-1,m-1]=f[n,m-1]

看出来了么？

回到题目上，如果递推算F(n),显然不行，但是我们有一个递推式F(n)=A*F(n-1),它可以化为F(n)=A^n*F(0)。

那么现在要做的就是如何优化A^n，想到快速幂？是的，矩阵也有快速幂（具体到网上找吧，这就不是理解方面的了）

然后答案就是F(n)=A^n*F(0)。但是这个F（0）没什么意义啊，f[0,0]=1，其他都等于0。

这样像上面那样写出线性方程组的形式你就发现这个F(n)=a[0,0]+a[0,1]+a[0,2]+……+a[0,m-1],那最后就没有必要算F(0)*A^n,直接算上a[0,i]的和就行了！

然后联系一下A的意义……是不是有点感觉？A^i就是表示a[j,k]原来是前j位递推i次后能变成前k位的方案！蒟蒻感觉好神奇！

然后就好像初步学会了矩阵快速幂优化……

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type
arr=array[0..25,0..25]of longint;

var
a,c,tmp:arr;
b,p:array[0..30]of longint;
i,j,k,l,n,m,mm,sum:longint;
ch:char;

procedure mul(var x,y:arr);
var
i,j,k:longint;
begin
for i:=0 to m-1 do
for j:=0 to m-1 do begin
tmp[i,j]:=0;
for k:=0 to m-1 do
tmp[i,j]:=(tmp[i,j]+x[i,k]*y[k,j])mod mm;
end;
for i:=0 to m-1 do
for j:=0 to m-1 do
x[i,j]:=tmp[i,j];
end;

begin
readln(n,m,mm);
for i:=1 to m do begin
read(ch);
b[i]:=ord(ch)-ord('0');
end;
j:=0;
p[1]:=0;
for i:=2 to m do begin
while (j>0) and (b[j+1]<>b[i]) do j:=p[j];
if b[j+1]=b[i] then inc(j);
p[i]:=j;
end;
for i:=0 to m-1 do
for j:=0 to 9 do begin
k:=i;
while (k>0) and (b[k+1]<>j) do k:=p[k];
if b[k+1]=j then inc(k);
if k<>m then c[i,k]:=(c[i,k]+1)mod mm;
end;
fillchar(a,sizeof(a),0);
for i:=0 to m-1 do
a[i,i]:=1;
while n>0 do begin
if n and 1=1 then mul(a,c);
mul(c,c);
n:=n>>1;
end;
sum:=0;
for i:=0 to m-1 do
sum:=(sum+a[0,i]) mod mm;
writeln(sum);
readln;
readln;
end.

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