[题解]bzoj1297(SCOI2009)迷路
2017-03-02 12:00
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Description
windy在有向图中迷路了。 该有向图有 N 个节点,windy从节点 0 出发,他必须恰好在 T 时刻到达节点 N-1。 现在给出该有向图,你能告诉windy总共有多少种不同的路径吗? 注意:windy不能在某个节点逗留,且通过某有向边的时间严格为给定的时间。Input
第一行包含两个整数,N T。 接下来有 N 行,每行一个长度为 N 的字符串。 第i行第j列为’0’表示从节点i到节点j没有边。 为’1’到’9’表示从节点i到节点j需要耗费的时间。Output
包含一个整数,可能的路径数,这个数可能很大,只需输出这个数除以2009的余数。Sample Input
【输入样例一】2 2
11
00
【输入样例二】
5 30
12045
07105
47805
12024
12345
Sample Output
【输出样例一】1
【样例解释一】
0->0->1
【输出样例二】
852
HINT
30%的数据,满足 2 <= N <= 5 ; 1 <= T <= 30 。 100%的数据,满足 2 <= N <= 10 ; 1 <= T <= 1000000000 。Solution
设图的邻接矩阵为A。在不考虑边权(或者边权都为1)的时候,An 中的元素Ani,j也表示i到j经过n条边(路径长度为n)的方案数。为什么呢?我们用归纳法证明。
因为当n=1时显然成立,然后对于任意n>1,有An=An−1∗A,则对于An中每个元素,有
Ani,j=∑An−1i,k∗Ak,j
如果性质在An−1 中成立,那么Ani,j就表示i到k经过n-1条边的方案总数×k到j经过1条边的方案总数,结果就是i到j经过n条边的方案总数,所以An符合性质,即如果An−1满足性质,那么An满足性质。所以命题得到证明。
所以当题目中的图中边权全都是1的时候,0到n-1号节点走过边权为m的答案就是Am0,n−1。
现在我们想办法把图中边权变为1。
不难想到拆点:(图中是1到2有一条边权为5的边的情况)
这样图中所有边权都化为1,构出新图的邻接矩阵然后快速幂即可。
代码:
#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; const int maxn=105,mod=2009; struct matrix{ int a[maxn][maxn]; matrix(){memset(a,0,sizeof a);} }temp,I; int n,T,size; char s[maxn]; matrix cheng(matrix x,matrix y){ matrix re; for(int i=0;i<size;i++){ for(int j=0;j<size;j++){ for(int k=0;k<size;k++){ (re.a[i][j]+=x.a[i][k]*y.a[k][j])%=mod; } } } return re; } matrix pow(matrix x,int y){ matrix re=I; while(y){ if(y&1)re=cheng(re,x); x=cheng(x,x);y>>=1; } return re; } int main(){ scanf("%d%d",&n,&T); for(int i=0;i<n;i++){ for(int j=1;j<=8;j++){ temp.a[i+(j-1)*n][i+j*n]=1; } } size=n*9; for(int i=0;i<size;i++){ I.a[i][i]=1; } for(int i=0;i<n;i++){ scanf("\n%s",s); for(int j=0;j<n;j++){ if(s[j]>'0'){ temp.a[i+(s[j]-'0'-1)*n][j]=1; } } } temp=pow(temp,T); printf("%d\n",temp.a[0][n-1]); return 0; }
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